Rappels de cours - Exercice 1

La notation $$| \, \, |$$ désigne la valeur absolue d'un nombre réel ou le module d'un nombre complexe.
$${\color{red}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Suites de fonctions}}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{La convergence simple}}}$$
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$A$$ un sous-ensemble de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions définies sur $$A$$, à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge simplement vers une fonction $$f$$, également définie sur $$A$$, également à valeurs réelles ou complexes, si, pour tout élément $$x$$ de $$A$$, la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}(x)$$ converge vers $$f(x)$$. D'où :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \forall x \in A, \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,/\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\, n \geqslant N \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, | \, f_n(x) - f(x) \,| < \varepsilon$$
Cette définition fait que la nombre entier naturel $$N$$ peut déprendre du nombre réel ou complexe $$x$$.
Pour illustrer cela, on considère la suite réelle de fonctions $$(f_n)_{n \geqslant 1}$$, définies sur l'intervalle $$[0 \,;\, 1]$$ par :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \forall x \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{1}{n} \right] & \mathrm{on \,\,a} & f_n(x) = 1 - nx \\ & & \\ \forall x \in \left[ \dfrac{1}{n} \,;\, 1 \right] & \mathrm{on \,\,a} & f_n(x) = 0 \end{array} \right.$$
La suite de fonction $$(f_n)_{n \geqslant 1}$$ converge simplement vers la fonction réelle, définie sur l'intervalle $$[0\,;\,1]$$ par :
$$f(0) = 1$$ et $$\forall x \in ] 0 \,;\, 1], \, f(x) = 0$$
Effectivement, pour tout nombre entier naturel non nul $$n$$, $$f_n(0)=1$$ ce qui signifie que la suite $$(f_n(0))_{n \geqslant 1}$$ est stationnaire (constante) et de fait convergente vers $$f(0) = 1$$.
Puis, pour $$x \in ] 0 \,;\, 1]$$, la suite $$\left( \dfrac{1}{n} \right)_{ n \geqslant 1} \longrightarrow 0$$. De fait, il existe un certain nombre entier naturel $$N$$ tel que pour $$n \geqslant N \Longrightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant x$$. Ceci implique que $$f_n(x) = 0$$. Ainsi la suite $$(f_n(x))_{n \geqslant 1}$$ est nulle à partir de $$N$$ et cela implique qu'elle est de nature convergente, vers $$0$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Critère de Cauchy de convergence simple}}}$$
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ une suite de fonctions, à valeurs réelles ou complexes, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. La suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ \textbf{converge simplement} sur $$A$$ si et seulement si :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \forall x \in A, \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,/\, \forall (n\,;\,p) \in ]N \,;\, + \infty[^2, \,\, | \, f_n(x) - f_p(x) \,| < \varepsilon$$
Cette définition fait que la nombre entier naturel $$N$$ peut déprendre du nombre réel ou complexe $$x$$.
$${\color{blue}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \textbf{La convergence uniforme}}}$$
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$A$$ un sous-ensemble de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions définies sur $$A$$, à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément vers une fonction $$f$$, également définie sur $$A$$, également à valeurs réelles ou complexes, si :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,/\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\, n \geqslant N \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \forall x \in A, \, | \, f_n(x) - f(x) \,| < \varepsilon$$
Cette fois le nombre entier naturel $$N$$ ne déprend pas du nombre réel ou complexe $$x$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Critère de Cauchy de convergence uniforme}}}$$
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ une suite de fonctions, à valeurs réelles ou complexes, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. La suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ \textbf{converge uniformément} sur $$A$$ si et seulement si :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,/\, \forall (n\,;\,p) \in ]N \,;\, + \infty[^2, \,\, \forall x \in A, \,\,| \, f_n(x) - f_p(x) \,| < \varepsilon$$
Cette définition fait que la nombre entier naturel $$N$$ peut déprendre du nombre réel ou complexe $$x$$.
On a également le théorème important suivant :
Soit $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ une suite de fonctions, à valeurs réelles ou complexes, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. La convergence uniforme de la suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ vers une fonction $$f$$ sur $$A$$ implique la convergence simple de la suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ vers $$f$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Condition équivalente de convergence uniforme}}}$$
Soit $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ une suite de fonctions bornées, à valeurs réelles ou complexes, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. On suppose que cette suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ converge simplement, sur $$A$$, vers une fonction bornée $$f$$.
On pose :
$$|| \, f_n - f \, ||_{\infty} = \underset{x \in A}{\sup} | \, f_n(x) - f(x) \,|$$
On a le théorème (très important dans la pratique) suivant :
La suite $$(f_n)_{n \geqslant 0}$$ converge uniformément vers $$f$$ si et seulement si :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} || \, f_n - f \, ||_{\infty} = 0$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Continuité d'une limite uniforme}}}$$
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
Soit $$A$$ un sous-ensemble de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions définies sur $$A$$, à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge localement uniformément vers une fonction $$f$$ si, pour tout $$x$$ de $$A$$ il existe un disque ouvert(qui est un intervalle ouvert dans la cas d'une fonction réelle, de centre $$x$$ sur lequel la convergence est uniforme.
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions définies sur un ouvert $$A$$, à valeurs réelles ou complexes qui converge localement uniformément vers une fonction $$f$$, elle même définies sur $$A$$ et à valeurs réelles ou complexes. Dans ce cas, la fonction $$f$$ est continue sur $$A$$.
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Dérivation d'une limite uniforme}}}$$
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions réelles définies et dérivables sur un intervalle ouvert $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles. On suppose alors que :
$$- \,\,$$ la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge simplement sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$I$$ à valeurs réelles ou complexes ;
$$- \,\,$$ la suite des dérivées $$(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$I$$ à valeurs réelles ou complexes.
Dans ce cas la fonction $$f$$ est dérivable sur $$I$$ et de dérivée $$g$$. La suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément, sur toute partie bornée de $$I$$, vers $$f$$.
On a également le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions réelles définies et dérivables sur un intervalle ouvert $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles. On suppose alors que :
$$- \,\,$$ la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge simplement sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$I$$ à valeurs réelles ou complexes ;
$$- \,\,$$ la suite des dérivées $$(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$I$$ à valeurs réelles ou complexes ;
$$- \,\,$$ chaque fonction $$f_n$$ est $$p$$ fois dérivable sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ pour tout $$k$$ tels que $$1 \leqslant k \leqslant p$$, la suite des dérivées d'ordre $$k$$ $$(f^{(k)}_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément sur $$I$$ vers une fonction $$g_k$$ définie sur $$I$$ à valeurs réelles ou complexes.
Dans ce cas la fonction $$f$$ est $$p$$ fois dérivable sur $$I$$ et, pour tout $$k$$ tels que $$1 \leqslant k \leqslant p$$, on a :
$$\forall x \in I, \,\, \lim_{n \longrightarrow \infty} f^{(k)}_n(x) = g_k(x)$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Intégration d'une limite uniforme}}}$$
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions réelles définies et continues sur un intervalle $$[a \,;\,b]$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes. On suppose que la suite $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge uniformément sur $$[a \,;\,b]$$ vers une fonction $$f$$.
Dans ce cas :
$$\lim_{n \longrightarrow \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$$
Ce théorème justifie la permutation de la limite et de l'intégrale.
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{Convergence dominée}}}$$
Par définition, continue par morceaux sur un intervalle $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles (ou complexes), est intégrale si l'intégrale, sur $$I$$, de sa valeur absolue (ou de son module) converge.
On a le théorème suivant :
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions réelles définies et continues par morceaux sur un intervalle $$[a \,;\,b]$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes. On suppose que :
$$- \,\,$$ pour tout entier naturel $$n$$ la fonction $$f_n$$ est intégrable sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ la suite de fonctions $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ converge simplement, sur $$I$$, vers une fonction $$f$$ continue par morceaux, définie sur $$I$$, et à valeurs réelles ou complexes ;
$$- \,\,$$ il existe une fonction $$\varphi$$, définie sur $$I$$, et à valeurs réelles, continue par morceau et intégrable sur $$I$$, telle que :
$$\forall x \in I, \,\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\, |\, f_n(x) \,| \leqslant \varphi(x)$$
Dans ce cas la fonction $$f$$ est intégrable et on a :
$$\lim_{n \longrightarrow \infty} \int_I f_n(x) \, dx = \int_I f(x) \, dx$$
$${\color{red}{\blacktriangleright \,\, \textbf{Séries de fonctions}}}$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{La convergence simple et la convergence uniforme}}}$$
Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions définies sur un sous-ensembles de $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
La fonction $$f_n$$ porte le nom de terme général de la série.
On désigne par $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ la suite des sommes partielles de cette série. On pose $$S_n = \sum_{k=0}^{n} f_k$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On dit que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est :
$$- \,\,$$ simplement convergente sur $$A$$ si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est simplement convergente sur $$A$$ ;
$$- \,\,$$ uniformément convergente sur $$A$$ si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est uniformément convergente sur $$A$$ ;
$$- \,\,$$ localement uniformément convergente si la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est localement uniformément convergente.
La limite de la suite de fonctions $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ s'appelle la somme de la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$.
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On appelle reste d'ordre $$n$$ de la série de fonctions simplement convergente $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$, la fonction $$\sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k$$.
On a les cinq théorèmes suivants :
$$\blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge simplement sur $$I$$ vers une fonction $$f$$ définie sur $$A$$ et à valeurs réelles ou complexes.
Pour que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge uniformément vers $$f$$ sur $$A$$, il faut, et il suffit, que la suite des restes converge uniformément vers $$0$$ sur $$A$$.
$$\blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un sous ensemble $$A$$ de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, à valeurs réelles ou complexes.
Si la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge localement uniformément sur $$A$$ alors la somme de cette série est continue sur $$A$$.
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ une série de fonctions, définies sur un intervalle ouvert $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que :
$$- \,\,$$ toutes les fonctions $$f_n$$ sont dérivables sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ la série de fonctions de terme général $$f_n$$ converge simplement sur $$I$$ ;
$$- \,\,$$ la série de fonctions de terme général $$f'_n$$ converge uniformément sur $$I$$.
Dans ce cas la somme $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est une fonction dérivable et sa dérivée est $$\sum_{n=0}^{+\infty} f'_n$$. La série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge uniformément sur toute partie bornée de $$I$$.
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies sur un intervalle $$[a\,;\,b]$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que les fonctions $$f_n$$ sont continues sur l'intervalle $$[a\,;\,b]$$ et que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est uniformément convergente sur intervalle $$[a\,;\,b]$$. Dans ce cas, on a :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \right) \, dx$$
$$\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\,$$ Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies sur un intervalle $$I$$ de $$\mathbb{R}$$, à valeurs réelles ou complexes.
Les fonctions $$f_n$$ sont continues par morceaux et intégrables sur l'intervalle $$I$$.
On suppose que la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ est uniformément convergente sur intervalle $$I$$ vers une fonction $$f$$ continue par morceaux sur $$I$$, à valeurs réelles ou complexes.
On suppose que la série de nombres réels positifs $$\sum_{n=0}^{+\infty} \int_I | \, f_n(x) \, | \, dx$$ converge.
Dans ce cas, $$f$$ est intégrable sur $$I$$, et on a :
$$\int_I f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \int_I f_n(x) \, dx \right)$$
$${\color{blue}{\blacklozenge \,\, \textbf{La convergence normale}}}$$
Soit $$A$$ un sous ensemble de $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$.
Soit $$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions, définies et bornées sur $$A$$, à valeurs réelles ou complexes.
On pose :
$$|| \, f_n \, ||_\infty = \underset{x \in A}{\sup} | \, f_n(x) \,|$$
$${\color{green}{\sphericalangle \,\, \textbf{Définition}}}$$
On dit que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si la série de nombres réels positifs $$\sum_{n=0}^{+\infty} || \, f_n \, ||_\infty$$ est convergente.
On a le théorème $$({\color{red}{\textbf{critère de Weierstrass}}})$$ suivant :
La série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si et seulement s'il existe une suite de nombres réels positifs $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ telle que :
$$- \,\,$$ pour tout nombres entiers naturels $$n$$, $$|| \, f_n \, ||_\infty \leqslant a_n$$ ;
$$- \,\,$$ la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ converge.
Le critère de Weierstrass est un critère de convergence normale. Pour les séries qui ne convergent pas absolument, on a le critère d’Abel suivant :
On a le théorème $$({\color{red}{\textbf{critère d'Abel}}})$$ suivant :
Soit $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions positives décroissantes qui converge uniformément
vers $$0$$. Soit $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ une suite de fonctions telle que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \exists M \in \mathbb{R}, \,\, \forall x \in I, \,\, \left\vert \sum_{k=0}^{n} b_k(x) \right\vert \leqslant M$$
Ce qui signifie que la suite de sommes partielles de $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ est bornée et les bornes sont indépendantes de $$n$$.
Dans ce cas la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(a_n(x) \, b_n(x) \right)$$ converge uniformément sur $$I$$.
La série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ si et seulement s'il existe une suite de nombres réels positifs $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ telle que :
$$- \,\,$$ pour tout nombres entiers naturels $$n$$, $$|| \, f_n \, ||_\infty \leqslant a_n$$ ;
$$- \,\,$$ la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$$ converge.
Il est ESSENTIEL de conservé à l'esprit les deux résultats qui suivent :
$${\color{red}{\textbf{Théorèmes importants}}}$$ :
$${\color{red}{\blacktriangledown \,}}$$ Si la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$$ converge normalement sur $$A$$ alors elle converge uniformément sur $$A$$.
$${\color{red}{\blacktriangledown \, \blacktriangledown \,}}$$ En outre, toute série de fonctions qui converge uniformément sur $$A$$ est simplement convergente sur $$A$$.