Exercice 12 - Exercice 1

On pose $$f_x(t) = \arctan\left( t+x \right) - \arctan\left( t \right)$$. Etudier les variations de la fonction $$f_x$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.

On pose $$u_n(x) = \arctan\left( n+x \right) - \arctan\left( n \right)$$. Etudier la convergence simple de la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.

On pose $$u_n(x) = \arctan\left( n+x \right) - \arctan\left( n \right)$$. Déterminer, lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$, un équivalent de la somme de la de la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$$ sur l'intervalle $$\mathbb{R}^+$$.