Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{x^2 + n}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
Soit $$x$$ un nombre réel : $$x \in [-1 \,;\, 0[$$.
On pose :
$$u_n(x) = \dfrac{x^n}{x^2 + n}$$
On a :
$$\forall x \in [-1 \,;\, 0[, \,\,\forall n \in \mathbb{N}^\star \,\, | \, x^n \, | \leqslant 1$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\forall x \in [-1 \,;\, 0[, \,\, \forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, \left\vert \dfrac{x^n}{x^2 + n} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{n}$$
La série numérique, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$$, qui est la série harmonique, est non convergente. De fait la série $$S(x)$$ n'est pas normalement convergente sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 0[$$.
Étudions maintenant une éventuelle convergence uniforme de $$S(x)$$ sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 0[$$.
On a :
$$S(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^k}{x^2 + k} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{x^k}{x^2 + k} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{x^k}{x^2 + k}$$
On constate que le reste $$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{x^k}{x^2 + k}$$ vérifie sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 0[$$ :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant | \, u_{n+1}(x) \, |$$
Soit :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \left\vert \, \dfrac{x^{n+1}}{x^2 + n + 1} \, \right\vert$$
Soit encore :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{| \, x \, |^{n+1}}{x^2 + n + 1}$$
Or, comme $$x \in [-1 \,;\, 0[$$ et $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on peut affirmer que :
$$0 \leqslant \dfrac{| \, x \, |^{n+1}}{x^2 + n + 1} \leqslant \dfrac{1}{n}$$
Ce qui implique que :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{n}$$
On constate alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$$
En conséquence, on en déduit que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{x^2 + n}$$ converge uniformément sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 0[$$.
De fait, cela implique que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{x^2 + n}$$ converge simplement sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 0[$$.