Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
Soit $$x$$ un nombre réel : $$x \in \mathbb{R}$$.
On pose :
$$u_n(x) = \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3}$$
On a :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, -(n+1) \leqslant n \sin(x) - \cos(x) \leqslant n+1$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, -\dfrac{n+1}{n^3} \leqslant \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3} \leqslant \dfrac{n+1}{n^3}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left\vert \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3} \right\vert \leqslant \dfrac{n+1}{n^3}$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left\vert \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3} \right\vert \leqslant \dfrac{n}{n^3} + \dfrac{1}{n^3}$$
Et comme $$n$$ est non nul, on a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left\vert \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^3}$$
Comme les deux séries numériques, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ et $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^3}$$, sont deux séries de Riemann convergentes alors leur somme forme une série numérique également convergente.
En vertu du critère de Weierstrass, la série $$S(x) = \dfrac{n \sin(x) - \cos(x)}{n^3}$$ est normalement convergente, par rapport à la variable réelle $$x$$, sur $$\mathbb{R}$$.
De fait, cette série est, sur $$\mathbb{R}$$, également uniformément convergente et cela implique sa simple convergence sur ce même intervalle.