Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos(nx)}{n^2}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul.
Soit $$x$$ un nombre réel : $$x \in \mathbb{R}$$.
On pose :
$$u_n(x) = \dfrac{\cos(nx)}{n^2}$$
On a :
$$-1 \leqslant \cos(nx) \leqslant 1$$
Ce qui implique que :
$$\left\vert \cos(nx) \right\vert \leqslant 1$$
Ce qui implique :
$$\dfrac{\left\vert \cos(nx) \right\vert }{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n^2}$$
Mais comme $$\dfrac{1}{n^2}$$ est une quantité toujours strictement positive (lorsqu'elle existe) :
$$\left\vert \dfrac{ \cos(nx) }{n^2} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{n^2}$$
Et comme la série numérique $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ est une série de Riemann convergente alors, en vertu du critère de Weierstrass, la série $$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\cos(nx)}{n^2}$$ est normalement convergente, par rapport à la variable réelle $$x$$, sur $$\mathbb{R}$$.
De fait, cette série est, sur $$\mathbb{R}$$, également uniformément convergente et cela implique sa simple convergence sur ce même intervalle.