Étudier la convergence de la série $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier.
Soit $$x$$ un nombre réel.
On note $$u_n(x) = (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$.
Ainsi :
$$| \, u_n(x) \, | = \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$.
On remarque de suite que les fonctions $$u_n$$ sont paires. De fait, posons $$x>0$$ (nous regarderons attentivement le cas $$x=0$$ dans la suite).
On a alors l'encadrement suivant :
$$0 \leqslant | \, u_n(x) \, | \leqslant \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + 0^2}$$
Soit :
$$0 \leqslant | \, u_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{2n+1}$$
Comme $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} 0 = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n+1} = 0$$ le théorème de l'encadrement nous permet d'affirmer que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} | \, u_n(x) \, | = 0$$
Posons $$N = 2n+1$$ et on considère l'expression fonctionnelle $$f(N) = \dfrac{N}{N^2 + x^2}$$, avec $$N>0$$ et $$x>0$$.
On constate alors que :
$$\forall N > 0, \,\, f'(N) = \left( \dfrac{N}{N^2 + x^2} \right)' = \dfrac{(x - N) (x+N)}{ \left( N^2 + x^2 \right)^2} = -\dfrac{(N - x) (N + x)}{ \left( N^2 + x^2 \right)^2}$$
De fait :
$$\forall N > x, \,\, f'(N) < 0$$
Ainsi on peut affirmer que la suite de fonctions $$\left( \dfrac{N}{N^2 + x^2} \right)_{N \in \mathbb{N}^\star}$$ est décroissante à partir d'un certain rang. Ceci nous permet d'affirmer que la suite fonctions $$\left( \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2} \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est décroissante à partir d'un certain rang. Dit, de manière équivalente, la suite fonctions $$\left( | \, u_n(x) \, | \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ est décroissante à partir d'un certain rang.
D'après le théorème des séries alternées, on peut donc affirmer que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ converge simplement sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
Puis, on constate que $$u_n(0) = (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + 0^2} = (-1)^n \dfrac{1}{2n+1} = \dfrac{(-1)^n}{2n+1}$$.
Or, le critère spécial des séries numérique alternée permet d'affirmer que la série numérique $$S(x=0) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1}$$ converge simplement.
De fait, la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ converge simplement sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+}$$.
Par parité de $$(-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ nous pouvons affirmer que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ converge simplement sur l'intervalle $$\mathbb{R}$$.
Etudions maintenant la convergence normale de la série de fonction $$S(x)$$ sur $$\mathbb{R}$$.
Lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on constate que :
$$\dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2} \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2}$$
Soit :
$$\dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2} \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{2n}{(2n)^2}$$
Soit encore :
$$\dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2} \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{1}{2n}$$
Donc :
$$| \, u_n(x) \, | \underset{+ \infty}{\sim} \dfrac{1}{2n}$$
Or, la série numérique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}$$ est la moitiée de la série harmonique, de fait elle diverge. Ceci implique que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ ne converge pas normalement sur $$\mathbb{R}$$.
Regardons le cas de d'une éventuelle convergence uniforme.
On peut écrire que :
$$S(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{2k+1}{(2k+1)^2 + x^2} = \sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{2k+1}{(2k+1)^2 + x^2} + \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{2k+1}{(2k+1)^2 + x^2}$$
Faisons apparaître le reste $$R_n(x)$$. Pour cela, on pose :
$$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{2k+1}{(2k+1)^2 + x^2}$$
On constate alors que le premier terme du reste, celui de rang minimal, majore le terme $$| \, R_n(x) \, |$$. Donc :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{2(n+1)+1}{(2(n+1)+1)^2 + x^2}$$
De fait, on a donc :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{2(n+1)+1}{(2(n+1)+1)^2 + 0^2}$$
Soit :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{2(n+1)+1}{(2(n+1)+1)^2}$$
En simplifiant :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{2(n+1)+1}$$
Ainsi, on trouve que :
$$| \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{2n+3}$$
Cette majoration est indépendante de $$x$$ et de fait, cela entraine que la série de fonctions $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \dfrac{2n+1}{(2n+1)^2 + x^2}$$ converge uniformément sur l'intervalle $$\mathbb{R}$$.