Méthode de Cramer : systèmes linéaires $$3\times 3$$ - Exercice 1

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{1}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 5 & -1 & 2 \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {\red{2}} \\ {\blue{-1}} \\ {\green{6}}\end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -3 \\ 5 & -1 & 2 \end{array}\right|$$
Nous allons développer le déterminant suivant la première ligne.
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=1\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}3 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right|+\left(-1\right)\times{\left(-1\right)}^{1+2}\times\left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 5 & 2 \end{array}\right|+2\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}2&3\\ 5 & -1 \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=1\times 1\times \left(3\times 2-\left(-1\right)\times \left(-3\right)\right)+\left(-1\right)\times \left(-1\right)\times \left(2\times 2-5\times \left(-3\right)\right)+2\times 1\times \left(2\times \left(-1\right)-5\times 3\right)$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=1\times 1\times 3+\left(-1\right)\times \left(-1\right)\times \left(19\right)+2\times 1\times \left(-17\right)$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=3+19-34$$
Ainsi :
Comme $$\det \left(A\right)\ne 0$$ , le système est de Cramer. Il admet donc un unique triplet solution.
Troisième étape : Calculons la valeur de $$x$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{ccc}\red{2} & -1 & 2 \\ \blue{-1} & 3 & -3 \\ \green{6} & -1 & 2 \end{array}\right|$$ .
On donnera ici la valeur de $${\Delta }_x$$ sans le détail.
Ainsi : $${\Delta }_x=-12$$.
Il en résulte donc que : $$x=\frac{-12}{-12}$$ c'est à dire .
Quatrième étape : Calculons la valeur de $$y$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{ccc}1 & \red{2} & 2 \\ 2 & \blue{-1} & -3 \\ 5 & \green{6} & 2 \end{array}\right|$$ .
On donnera ici la valeur de $${\Delta }_y$$ sans le détail.
Ainsi : $${\Delta }_y=12$$.
Il en résulte donc que : $$y=\frac{12}{-12}$$ c'est à dire .
Cinquième étape : Calculons la valeur de $$z$$
Nous n'avons pas besoin de calculer $$z=\frac{{\Delta }_z}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ . En effet, on peut utiliser la ligne $$1$$ du système initial en substituant $$x$$ et $$y$$ et on obtiendra $$z$$.
Ce qui nous donne :
$$x-y+2z=2$$
$$1-\left(-1\right)+2z=2$$
$$2+2z=2$$
$$2z=0$$
Ainsi : .
L’unique solution du système est le triplet

Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle.
Le système $$S_{2}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left( \begin{array}{ccc}2 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {\red{-4}} \\ {\blue{0}} \\ {\green{10}}\end{array}\right)$$ .
Deuxième étape : Calculons le déterminant de $$A$$ .
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}2 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right|$$
Nous allons développer le déterminant suivant la première ligne.
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}2 & -4 \\ 2 & -2 \end{array}\right|+\left(-3\right)\times{\left(-1\right)}^{1+2}\times\left|\begin{array}{cc}-1 & -4 \\ 3 & -2 \end{array}\right|+1\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}-1&2\\ 3 & 2 \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times 1\times \left(2\times \left(-2\right)-2\times \left(-4\right)\right)+\left(-3\right)\times \left(-1\right)\times \left(\left(-1\right)\times \left(-2\right)-3\times \left(-4\right)\right)+1\times 1\times \left(\left(-1\right)\times2-3\times 2\right)$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times 1\times 4+\left(-3\right)\times \left(-1\right)\times 14+1\times 1\times \left(-8\right)$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=8+42-8$$
Ainsi :
Comme $$\det \left(A\right)\ne 0$$ , le système est de Cramer. Il admet donc un unique triplet solution.
Troisième étape : Calculons la valeur de $$x$$
$$x=\frac{{\Delta }_x}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_x=\left| \begin{array}{ccc}\red{-4} & -3 & 1 \\ \blue{0} & 2 & -4 \\ \green{10} & 2 & -2 \end{array}\right|$$ .
On donnera ici la valeur de $${\Delta }_x$$ sans le détail.
Ainsi : $${\Delta }_x=84$$.
Il en résulte donc que : $$x=\frac{84}{42}$$ c'est à dire .
Quatrième étape : Calculons la valeur de $$y$$
$$y=\frac{{\Delta }_y}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ où $${\Delta }_y=\left| \begin{array}{ccc}2 & \red{-4} & 1 \\ -1 & \blue{0} & -4 \\ 3 & \green{10} & -2 \end{array}\right|$$ .
On donnera ici la valeur de $${\Delta }_y$$ sans le détail.
Ainsi : $${\Delta }_y=126$$.
Il en résulte donc que : $$y=\frac{126}{42}$$ c'est à dire .
Cinquième étape : Calculons la valeur de $$z$$
Nous n'avons pas besoin de calculer $$z=\frac{{\Delta }_z}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}$$ . En effet, on peut utiliser la ligne $$1$$ du système initial en substituant $$x$$ et $$y$$ et on obtiendra $$z$$.
Ce qui nous donne :
$$2x-3y+z=-4$$
$$2\times2-3\times3+z=-4$$
$$4-9+z=-4$$
$$z=-4-4+9$$
Ainsi : .
L’unique solution du système est le triplet