Comment calculer un déterminant $$3\times 3$$ selon une ligne ou une colonne - Exercice 1

$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{2} & 3 & -2 \\ \green{0} & 1 & 2 \\ \pink{1} & 3 & -1 \end{array}\right|$$
Pour calculer le déterminant de $$A$$, nous allons développer suivant la première colonne.
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\red{2}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{1+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}+\green{0}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{2+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 3 & -1 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}+\pink{1}\times \overbrace{{\left(-1\right)}^{3+1}\times \underbrace{\left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right|}_{\text{mineur}}}^{\text{cofacteur}}$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times 1\times \left(1\times\left(-1\right)-3\times2\right)+0+1\times1\times\left(3\times2-1\times\left(-2\right)\right)$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times \left(-7\right)+0+1\times8$$
$${\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-14+8$$
Ainsi :

$${\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & \green{2} & \pink{-1} \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right|$$
Pour calculer le déterminant de $$B$$, nous allons développer suivant la première ligne.
$${\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\red{1}\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|+\green{2}\times {\left(-1\right)}^{1+2}\times \left| \begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right|+\left(\pink{-1}\right)\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 3 & 2 \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(B\right)\ }=1\times 1\times \left(0\times 2-2\times 1\right)+2\times \left(-1\right)\times \left(-1\times 2-3\times 1\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(-1\times 2-3\times 0\right)$$
$${\mathrm{det} \left(B\right)\ }=1\times 1\times \left(-2\right)+2\times \left(-1\right)\times \left(-5\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(-2\right)$$
$${\mathrm{det} \left(B\right)\ }=-2+10+2$$
Ainsi :

$${\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ 4 & -3 & 2 \\ \red{2} & \green{-2} & \pink{-1} \end{array}\right|$$
Pour calculer le déterminant de $$C$$, nous allons développer suivant la troisième ligne.
$${\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\red{2}\times {\left(-1\right)}^{3+1}\times \left| \begin{array}{cc}-2 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right|+\left(\green{-2}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+2}\times \left| \begin{array}{cc}3 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right|+\left(\pink{-1}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+3}\times \left| \begin{array}{cc}3 & -2 \\ 4 & -3 \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(C\right)\ }=2\times 1\times \left(\left(-2\right)\times 2-\left(-3\right)\times 0\right)-2\times 1\times \left(3\times 2-4\times 0\right)+\left(-1\right)\times 1\times \left(3\times \left(-3\right)-4\times \left(-2\right)\right)$$
$${\mathrm{det} \left(C\right)\ }=2\times 1\times \left(-4\right)-2\times \left(-1\right)\times 6+\left(-1\right)\times 1\times \left(-1\right)$$
$${\mathrm{det} \left(C\right)\ }=-8+12+1$$
Ainsi :

$${\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x & \red{0} & y \\ 1 & \green{x} & 0 \\ y & \pink{0} & x \end{array}\right|$$
Pour calculer le déterminant de $$D$$, nous allons développer suivant la deuxième colonne.
$${\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\red{0}\times {\left(-1\right)}^{2+1}\times \left| \begin{array}{cc}1 & 0 \\ y & x \end{array}\right|+\green{x}\times {\left(-1\right)}^{2+2}\times \left| \begin{array}{cc}x & y \\ y & x \end{array}\right|+\pink{0}\times {\left(-1\right)}^{2+3}\times \left| \begin{array}{cc}x & y \\ 1 & 0 \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(D\right)\ }=0+x\times \left(x^2-y^2\right)+0$$
Ainsi :

$${\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{x} & \green{y} & \pink{z} \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right|$$
Pour calculer le déterminant de $$E$$, nous allons développer suivant la première ligne.
$${\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\red{x}\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}z & x \\ x & y \end{array}\right|+\green{y}\times {\left(-1\right)}^{1+2}\times \left| \begin{array}{cc}y & x \\ z & y \end{array}\right|+\pink{z}\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}y & z \\ z & x \end{array}\right|$$
$${\mathrm{det} \left(E\right)\ }=x\times 1\times \left(zy-x^2\right)+y\times \left(-1\right)\times \left(y^2-zx\right)+z\times 1\times \left(yx-z^3\right)$$
$${\mathrm{det} \left(E\right)\ }=x\left(zy-x^2\right)-y\left(y^2-zx\right)+z\left(yx-z^2\right)$$
$${\mathrm{det} \left(E\right)\ }=xzy-x^3-y^3+yzx+zyx-z^3$$
Ainsi :