Comment calculer un déterminant $$3\times 3$$ à l'aide de la règle de Sarrus - Exercice 1

Soit :
$$\det\left( A\right)=\left| \begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & 0 \end{array}\right|$$
On réécrit sous la troisième ligne du déterminant la première ligne puis la seconde.
$$\begin{array}{ccc}{\color{blue}{2}} &0 & \pink{1} \\ {\color{red}{-1}} & {\color{blue}{3}} &{{\color{brown}{2}}} \\ {\color{green}{4}} & {\color{red}{3}} & {\color{blue}{0}} \end{array}$$
$$\begin{array}{ccc}{{\color{brown}{2}}} & {\color{green}{0}} & {\color{red}{1}} \\ {{\color{orange}{-1}}} & 3 & {\color{green}{2}} \end{array}$$
On effectue ensuite la somme des $$3$$ produits descendantes puis la différence des $$3$$ produits des diagonales ascendantes. On a donc :
$$\Delta={\color{blue}{2}}\times{\color{blue}{3}}\times{\color{blue}{0}}+{\color{red}{\left(-1\right)}}\times{\color{red}{3}}\times{\color{red}{1}}+{\color{green}{4}}\times{\color{green}{0}}\times{\color{green}{2}}-\pink{1}\times{\color{blue}{3}}\times{\color{green}{4}}-{{\color{brown}{2}}}\times{\color{red}{3}}\times{{\color{brown}{2}}}-{\color{blue}{0}}\times{\color{green}{0}}\times{{\color{orange}{\left(-1\right)}}}$$
$$\Delta=0-3+0-12-12+0$$
Ainsi :

Soit :
$$\det\left( B\right)=\left| \begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \\ -2 & 0 & 4 \end{array}\right|$$
On réécrit sous la troisième ligne du déterminant la première ligne puis la seconde.
$$\begin{array}{ccc}{\color{blue}{3}} &-2 & \pink{0} \\ {\color{red}{2}} & {\color{blue}{1}} &{{\color{brown}{2}}} \\ {\color{green}{-2}} & {\color{red}{0}} & {\color{blue}{4}} \end{array}$$
$$\begin{array}{ccc}{{\color{brown}{3}}} & {\color{green}{-2}} & {\color{red}{0}} \\ {{\color{orange}{2}}} & 1 & {\color{green}{5}} \end{array}$$
On effectue ensuite la somme des $$3$$ produits descendantes puis la différence des $$3$$ produits des diagonales ascendantes. On a donc :
$$\Delta={\color{blue}{3}}\times{\color{blue}{1}}\times{\color{blue}{4}}+{\color{red}{2}}\times{\color{red}{0}}\times{\color{red}{0}}+{\color{green}{\left(-2\right)}}\times{\color{green}{\left(-2\right)}}\times{\color{green}{5}}-\pink{0}\times{\color{blue}{1}}\times{\color{green}{\left(-2\right)}}-{{\color{brown}{2}}}\times{\color{red}{0}}\times{{\color{brown}{3}}}-{\color{blue}{4}}\times{\color{green}{\left(-2\right)}}\times{{\color{orange}{2}}}$$
$$\Delta=12+0+20-0-0+16$$
Ainsi :

Soit :
$$\det\left(C\right)=\left| \begin{array}{ccc}m & 0 & 2 \\ 1 & 2m & -1 \\ -m & 1 & 0 \end{array}\right|$$
On réécrit sous la troisième ligne du déterminant la première ligne puis la seconde.
$$\begin{array}{ccc}{\color{blue}{m}} &0 & \pink{2} \\ {\color{red}{1}} & {\color{blue}{2m}} &{{\color{brown}{-1}}} \\ {\color{green}{-m}} & {\color{red}{1}} & {\color{blue}{0}} \end{array}$$
$$\begin{array}{ccc}{{\color{brown}{m}}} & {\color{green}{0}} & {\color{red}{2}} \\ {{\color{orange}{1}}} & 2m & {\color{green}{-1}} \end{array}$$
On effectue ensuite la somme des $$3$$ produits descendantes puis la différence des $$3$$ produits des diagonales ascendantes. On a donc :
$$\Delta={\color{blue}{m}}\times{\color{blue}{2m}}\times{\color{blue}{0}}+{\color{red}{1}}\times{\color{red}{1}}\times{\color{red}{2}}+{\color{green}{\left(-m\right)}}\times{\color{green}{0}}\times{\color{green}{\left(-1\right)}}-\pink{2}\times{\color{blue}{2m}}\times{\color{green}{\left(-m\right)}}-{{\color{brown}{\left(-1\right)}}}\times{\color{red}{1}}\times{{\color{brown}{m}}}-{\color{blue}{0}}\times{\color{green}{\left(0\right)}}\times{{\color{orange}{1}}}$$
$$\Delta=0+2+0+4m^2+m-0$$
Ainsi :