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Etudier le signe d'un quotient de la forme a(x−x1)(x−x2)x2\frac{a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)}{x^{2} } - Exercice 2

10 min
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Dresser le tableau de signe des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=−0,1(x−0,2)(x+0,5)x2f\left(x\right)=\frac{-0,1\left(x-0,2\right)\left(x+0,5\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

Correction
Pour étudier le signe d'un quotient :
  • on identifie la valeur interdite .
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif. Donc le signe de f(x)f\left(x\right) ne dépend alors que de son numérateur −0,1(x−0,2)(x+0,5)-0,1\left(x-0,2\right)\left(x+0,5\right) . Dans le tableau il y aura une double barre pour la valeur 00 .
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−0,2=0⇔x=0,2x-0,2=0\Leftrightarrow x=0,2
    Soit x↦x−0,2x\mapsto x-0,2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−0,2x-0,2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0,2x=0,2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+0,5=0⇔x=−0,5x+0,5=0\Leftrightarrow x=-0,5
    Soit x↦x+0,5x\mapsto x+0,5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+0,5x+0,5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−0,5x=-0,5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −0,1-0,1 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −0,1-0,1.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 2

    f(x)=(x−9)(x+9)x2f\left(x\right)=\frac{\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{x^{2}} sur R∗\mathbb{R^{*}} .

    Correction
    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • on identifie la valeur interdite .
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    • On n'oubliera pas la double barre pour la valeur interdite .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

    f(x)=(x−9)(x+9)x2f\left(x\right)=\frac{\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{x^{2}} que l'on peut écrire f(x)=1(x−9)(x+9)x2f\left(x\right)=\frac{1\left(x-9\right)\left(x+9\right)}{x^{2}}
  • Premieˋrement\red{\text{Premièrement}}
    • Le dénominateur x2x^{2} s'annule pour x=0x=0 qui est la valeur interdite . C'est pour cette raison que nous travaillons sur R∗\mathbb{R^{*}} . Le signe de x2x^{2} est alors strictement positif.
  • Deuxieˋmement :\red{\text{Deuxièmement :}}
    • x−9=0⇔x=9x-9=0\Leftrightarrow x=9
    Soit x↦x−9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−9x-9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • Troisieˋmement :\red{\text{Troisièmement :}}
    • x+9=0⇔x=−9x+9=0\Leftrightarrow x=-9
    Soit x↦x+9x\mapsto x+9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+9x+9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−9x=-9 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 11 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 11.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :