Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $$a$$ - Exercice 1

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.

$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$

$$f'\left(x\right)=-\frac{2}{x^{2}}$$

$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(1\right)$$

$$f\left(1\right)=3+\frac{2}{1}$$
$$f\left(1\right)=5$$

$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(1\right)$$

$$f'\left(1\right)=-\frac{2}{1^{2}}$$
$$f'\left(1\right)=-2$$

$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.

On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=\left(-2\right)\times \left(x-1\right)+5$$
$$y=-2x+2+5$$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-2x+7$$.

Ici $$a=2$$, ce qui donne, $$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$.

$$\red{1}$$^{$$\red{\text{ère}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer la dérivée de $$f$$

$$f'\left(x\right)=3-\frac{4}{x^{2}}$$

$$\red{2}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f\left(2\right)$$

$$f\left(2\right)=3\times2+\frac{4}{2}$$
$$f\left(2\right)=6+2$$
$$f\left(2\right)=8$$

$$\red{3}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ calculer $$f'\left(2\right)$$

$$f'\left(2\right)=3-\frac{4}{2^{2}}$$
$$f'\left(2\right)=3-\frac{4}{4}$$
$$f'\left(2\right)=3-1$$
$$f'\left(2\right)=2$$

$$\red{4}$$^{$$\red{\text{ème}}$$}$$\text{\red{ étape :}}$$ on remplace les valeurs de $$f\left(2\right)$$ et de $$f'\left(2\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.

On sait que :
$$y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$
$$y=2\times \left(x-2\right)+8$$
$$y=2\times x+2\times \left(-2\right)+8$$
$$y=2x-4+8$$

Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$2$$ est alors $$y=2x+4$$.