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Calculer des dérivées et mise au même dénominateur - Exercice 3

5 min
20
Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=9x−3+16xf\left(x\right)=9x-3+\frac{16}{x}
Question 1

Montrer que, pour tout réel xx de ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=(3x−4)(3x+4)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({3x-4}\right)\left(3x+4\right)}{x^{2} }

Correction
  • (nombrex)′=−nombrex2\left(\frac{\red{\text{nombre}}}{x} \right)^{'} =-\frac{{\red{\text{nombre}}}}{x^{2} }
    • Nous avons f(x)=9x−3+16xf\left(x\right)=9x-3+\frac{\red{16}}{x} alors :
    f′(x)=9−16x2f'\left(x\right)=9-\frac{\red{16}}{x^{2} } . Nous allons maintenant mettre l'expression au même dénominateur.
    Ainsi :
    f′(x)=91−16x2f'\left(x\right)=\frac{9}{1}-\frac{16}{x^{2} }
    f′(x)=9×x21×x2−16x2f'\left(x\right)=\frac{9\times x^{2}}{1\times x^{2}}-\frac{16}{x^{2} }
    f′(x)=9x2x2−16x2f'\left(x\right)=\frac{9x^{2}}{ x^{2}}-\frac{16}{x^{2} }
    f′(x)=9x2−16x2f'\left(x\right)=\frac{9x^{2}-16}{ x^{2}}
    f′(x)=(3x)2−42x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{3x}}\right)^{2} -{\color{red}{4}}^{2} }{x^{2} } . Ici on fait apparaître une identité remarquable afin de factoriser le numérateur.
    • a2−b2=(a−b)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    Ainsi :
    f′(x)=(3x−4)(3x+4)x2f'\left(x\right)=\frac{\left({\color{blue}{3x}}-{\color{red}{4}}\right)\left({\color{blue}{3x}}+{\color{red}{4}}\right)}{x^{2} }