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Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)cos⁡(u(x))\red{x\mapsto u'\left(x\right)\cos \left(u\left(x\right)\right)} - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=cos⁡(5x+π3)f\left(x\right)=\cos \left(5x+\frac{\pi }{3} \right)

Correction
SSoient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=cos⁡(5x+π3)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}} \right) avec a=5{\color{red}{a=5}} et b=π3{\color{blue}{b=\frac{\pi }{3}}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=15sin⁡(5x+π3)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{5}}\sin \left({\color{red}{5}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}}\right)
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=cos⁡(3x+π4)f\left(x\right)=\cos \left(3x+\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et b{\color{blue}{b}} un réel.
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=cos⁡(3x+π4)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right) avec a=3{\color{red}{a=3}} et b=π4{\color{blue}{b=\frac{\pi }{4}}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=13sin⁡(3x+π4)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{3}}\sin \left({\color{red}{3}}x+{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}}\right)
    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=2cos⁡(9x+5π6)f\left(x\right)=2\cos \left(9x+\frac{5\pi }{6} \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul ; b{\color{blue}{b}} un réel et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=2cos⁡(9x+5π6)f\left(x\right)={\color{purple}{2}}\cos \left({\color{red}{9}}x+{\color{blue}{\frac{5\pi }{6}}} \right) avec a=9{\color{red}{a=9}} ; b=5π6{\color{blue}{b=\frac{5\pi }{6}}} et k=2{\color{purple}{k=2}}
    Or une primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kasin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=29sin⁡(9x+5π6)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{2}}}{\color{red}{9}}\sin \left({\color{red}{9}}x+{\color{blue}{\frac{5\pi }{6}}}\right)

    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=24cos⁡(6x+1)f\left(x\right)=24\cos \left(6x+1 \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul ; b{\color{blue}{b}} un réel et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=24cos⁡(6x+1)f\left(x\right)={\color{purple}{24}}\cos \left({\color{red}{6}}x+{\color{blue}{1}} \right) avec a=6{\color{red}{a=6}} ; b=1{\color{blue}{b=1}} et k=24{\color{purple}{k=24}}
    Or une primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kasin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=246sin⁡(6x+1)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{24}}}{\color{red}{6}}\sin \left({\color{red}{6}}x+{\color{blue}{1}}\right)

    Aprè simplification, on obtient : F(x)=4sin⁡(6x+1)F\left(x\right)=4\sin \left(6x+1 \right)