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Déterminer les primitives et composée de fonctions de la forme : x↦u′(x)un(x)\red{x\mapsto \frac{u'\left(x\right)}{u^{n} \left(x\right)}} - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ et définie par f(x)=2(2x−12)5f\left(x\right)=\frac{2}{\left(2x-12\right)^{5}}

Correction
Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]6;+∞[x\in \left]6;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=2x−12{\color{red}{u\left(x\right)=2x-12}} et n=5{\color{brown}{n=5}}
    De plus, u′(x)=2{\color{blue}{u'\left(x\right)=2}} .
    f(x)=2(2x−12)5f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{2}}}{\left({\color{red}{2x-12}}\right)^{{\color{brown}{5}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=5{\color{brown}{n=5}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]6;+∞[\left]6;+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(5−1)(2x−12)5−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{5}}-1\right)\left(\color{red}{2x-12}\right)^{{\color{brown}{5}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−14(2x−12)4F\left(x\right)=\frac{-1}{4\left(2x-12\right)^{4} }

    Question 2

    Déterminer une primitive sur ]8;+∞[\left]8;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]8;+∞[\left]8;+\infty \right[ et définie par f(x)=5(5x−40)3f\left(x\right)=\frac{5}{\left(5x-40\right)^{3}}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]8;+∞[x\in \left]8;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=5x−40{\color{red}{u\left(x\right)=5x-40}} et n=3{\color{brown}{n=3}}
    De plus, u′(x)=5{\color{blue}{u'\left(x\right)=5}} .
    f(x)=5(5x−40)3f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{5}}}{\left({\color{red}{5x-40}}\right)^{{\color{brown}{3}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=3{\color{brown}{n=3}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]8;+∞[\left]8;+\infty \right[ est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(3−1)(5x−40)3−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{3}}-1\right)\left(\color{red}{5x-40}\right)^{{\color{brown}{3}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−12(5x−40)2F\left(x\right)=\frac{-1}{2\left(5x-40\right)^{2} }

    Question 3

    Déterminer une primitive sur ]−4;+∞[\left]-4;+\infty \right[ de la fonction ff continue sur ]−4;+∞[\left]-4;+\infty \right[ et définie par f(x)=24(3x+12)7f\left(x\right)=\frac{24}{\left(3x+12\right)^{7}}

    Correction
    Soient n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2 et k\color{purple}{k} un reél non nul
  • Une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −k(n−1)un−1\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈]−4;+∞[x\in \left]-4;+\infty \right[
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=3x+12{\color{red}{u\left(x\right)=3x+12}} et n=7{\color{brown}{n=7}}
    De plus, u′(x)=3{\color{blue}{u'\left(x\right)=3}} .
    f(x)=24(3x+12)7f\left(x\right)=\frac{24}{\left(3x+12\right)^{7}} s'écrit alors
    f(x)=8×3(3x+12)7f\left(x\right)={\color{purple}{8}}\times\frac{{\color{blue}{3}}}{\left({\color{red}{3x+12}}\right)^{{\color{brown}{7}}}}
    f(x)=k×u′unf\left(x\right)={\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=7{\color{brown}{n=7}} et k=8{\color{purple}{k=8}}
    Or une primitive de k×u′un{\color{purple}{k}}\times\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −k(n−1)un−1\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur ]−4;+∞[\left]-4;+\infty \right[ est :
    F(x)=−k(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{k}}}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−8(7−1)(3x+12)7−1F\left(x\right)=\frac{-{\color{purple}{8}}}{\left({\color{brown}{7}}-1\right)\left(\color{red}{3x+12}\right)^{{\color{brown}{7}-1}} }
    F(x)=−86(3x+12)6F\left(x\right)=\frac{-8}{6\left(3x+12\right)^{6} }
    Ainsi :
    F(x)=−43(3x+12)6F\left(x\right)=\frac{-4}{3\left(3x+12\right)^{6} }
    n’oubliez pas de simplifier par 2 le numeˊrateur et le deˊnominateur.\blue{\text{n'oubliez pas de simplifier par 2 le numérateur et le dénominateur.}}
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=6x(3x2+1)2f\left(x\right)=\frac{6x}{\left(3x^{2}+1\right)^{2}}

    Correction
    Soit n\color{brown}{n} un entier tel que n≥2n\ge 2
  • Une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R}
    La fonction ff est de la forme u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec u(x)=3x2+1{\color{red}{u\left(x\right)=3x^{2}+1}} et n=2{\color{brown}{n=2}}
    De plus, u′(x)=6x{\color{blue}{u'\left(x\right)=6x}} .
    f(x)=6x(3x2+1)2f\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{6x}}}{\left({\color{red}{3x^{2}+1}}\right)^{{\color{brown}{2}}}} s'écrit alors
    f(x)=u′unf\left(x\right)=\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} avec n=2{\color{brown}{n=2}}
    Or une primitive de u′un\frac{{\color{blue}{u'}}}{{\color{red}{u}}^{{\color{brown}{n}}}} est de la forme −1(n−1)un−1\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=−1(n−1)un−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{n}}-1\right)\color{red}{u}^{{\color{brown}{n}-1}} }
    F(x)=−1(2−1)(3x2+1)2−1F\left(x\right)=\frac{-1}{\left({\color{brown}{2}}-1\right)\left(\color{red}{3x^{2}+1}\right)^{{\color{brown}{2}-1}} }
    Ainsi :
    F(x)=−1(3x2+1)F\left(x\right)=\frac{-1}{\left(3x^{2}+1\right) }