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Transformer l'expression ${\color{blue}{A\cos \left(\omega t+\varphi \right)}}$ en ${\color{red}{a\cos \left(\omega t\right)+b\sin \left(\omega t\right)}}$ - Exercice 1

7 min

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par :

f\left(t\right)=5\cos \left(4t+\frac{\pi }{3} \right)

Question 1

Pour tout réel $t$ , exprimer $f\left(t\right)$ sous la forme $a \cos \left(4t\right)+b \sin \left(4t\right)$ avec $a$ et $b$ à déterminer.

Correction

\red{\text{Formule d'addition}}

$\cos \left({\color{blue}{a}}+{\color{red}{b}}\right)=\cos \left({\color{blue}{a}}\right)\cos \left({\color{red}{b}}\right)-\sin \left({\color{blue}{a}}\right)\sin \left({\color{red}{b}}\right)$

f\left(t\right)=5\cos \left({\color{blue}{4t}}+{\color{red}{\frac{\pi }{3}}} \right)

. Nous allons appliquer le rappel, il vient que :

f\left(t\right)=5\left(\cos \left({\color{blue}{4t}}\right)\cos \left({\color{red}{\frac{\pi }{3}}}\right)-\sin \left({\color{blue}{4t}}\right)\sin \left({\color{red}{\frac{\pi }{3}}} \right)\right)

. Ci dessous, vous trouverez le cercle trigonométrique sur lesquelles vous trouverez les valeurs remarquables à connaitre pour les cosinus et sinus.

f\left(t\right)=5\left(\cos \left(4t\right)\times \frac{1}{2} -\sin \left(4t\right)\times \frac{\sqrt{3} }{2} \right)

f\left(t\right)=5\left(\frac{1}{2} \cos \left(4t\right)-\frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(4t\right)\right)

f\left(t\right)=5\times \frac{1}{2} \cos \left(4t\right)-5\times \frac{\sqrt{3} }{2} \sin \left(4t\right)

Ainsi :

f\left(t\right)=\frac{5}{2} \cos \left(4t\right)-\frac{5\sqrt{3} }{2} \sin \left(4t\right)

L'écriture est bien de la forme

a \cos \left(4t\right)+b \sin \left(4t\right)

avec

a=\frac{5}{2}

b=-\frac{5\sqrt{3} }{2}