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Passer de la forme exponentielle à la forme algébrique - Exercice 1

10 min
20
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
Question 1

z1=4eiπ4z_{1} =4e^{i\frac{\pi }{4} }

Correction
Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • z1=4eiπ4z_{1} =4e^{i{\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} } équivaut successivement à :
    z1=4×(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))z_{1} =4\times \left(\cos \left({\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{\frac{\pi }{4}}} \right)\right)
    z1=4×cos⁡(π4)+4×isin⁡(π4)z_{1} =4\times \cos \left(\frac{\pi }{4} \right)+4\times i\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)
    z1=4×22+4×i×22z_{1} =4\times \frac{\sqrt{2} }{2} +4\times i\times \frac{\sqrt{2} }{2}
    z1=4×22+4×22iz_{1} =\frac{4\times \sqrt{2} }{2} +\frac{4\times \sqrt{2} }{2} i
    Ainsi :
    z1=22+22iz_{1} =2\sqrt{2} +2\sqrt{2} i

    Question 2

    z2=2eiπ3z_{2} =2e^{i\frac{\pi }{3} }

    Correction
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • z2=2eiπ3z_{2} =2e^{i{\color{blue}{\frac{\pi }{3}}} } équivaut successivement à :
    z2=2×(cos⁡(π3)+isin⁡(π3))z_{2} =2\times \left(\cos \left({\color{blue}{\frac{\pi }{3}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{\frac{\pi }{3}}}\right)\right)
    z2=2×cos⁡(π3)+2×isin⁡(π3)z_{2} =2\times \cos \left(\frac{\pi }{3} \right)+2\times i\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)
    z2=2×12+2×i×32z_{2} =2\times \frac{1}{2} +2\times i\times \frac{\sqrt{3} }{2}
    Ainsi :
    z2=1+3iz_{2} =1+\sqrt{3} i

    Question 3

    z3=5e−iπ2z_{3} =5e^{-i\frac{\pi }{2} }

    Correction
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • z3=5e−iπ2z_{3} =5e^{-i{\color{blue}{\frac{\pi }{2} }}} équivaut successivement à :
    z3=5×(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))z_{3} =5\times \left(\cos \left({\color{blue}{-\frac{\pi }{2}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{-\frac{\pi }{2}}} \right)\right)
    z3=5×cos⁡(−π2)+5×isin⁡(−π2)z_{3} =5\times \cos \left(-\frac{\pi }{2} \right)+5\times i\sin \left(-\frac{\pi }{2} \right)
    z3=5×0+5×i×(−1)z_{3} =5\times 0+5\times i\times \left(-1\right)
    Ainsi :
    z3=−5iz_{3} =-5i

    Question 4

    z4=3e−i5π6z_{4} =3e^{-i\frac{5\pi }{6} }

    Correction
    Soit θ{\color{blue}{\theta}} un réel .
  • eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i{\color{blue}{\theta}} } =\cos \left({\color{blue}{\theta}}\right)+i\sin \left({\color{blue}{\theta}}\right)
    • z4=3e−i5π6z_{4} =3e^{-i{\color{blue}{\frac{5\pi }{6} }}} équivaut successivement à :
    z4=3×(cos⁡(−5π6)+isin⁡(−5π6))z_{4} =3\times \left(\cos \left({\color{blue}{-\frac{5\pi }{6}}} \right)+i\sin \left({\color{blue}{-\frac{5\pi }{6}}} \right)\right)
    z4=3×cos⁡(−5π6)+3×isin⁡(−5π6)z_{4} =3\times \cos \left(-\frac{5\pi }{6} \right)+3\times i\sin \left(-\frac{5\pi }{6} \right)
    z4=3×(−32)+3×i(−12)z_{4} =3\times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+3\times i\left(-\frac{1}{2} \right)
    Ainsi :
    z4=−332−32iz_{4} =-\frac{3\sqrt{3} }{2} -\frac{3}{2} i