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Lien entre la notion de distance et module - Exercice 1

10 min
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Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u→;v→)\left(O;\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)
Soient les points AA, BB, CC et DD d'affixes respectives zA=−1−3iz_{A} =-1-3i , zB=2−iz_{B} =2-i , zC=−3+4iz_{C} =-3+4i et zD=−5+6iz_{D} =-5+6i
Question 1

Calculer la distance ABAB .

Correction
    Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AB=∣zB−zA∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AB=∣2−i−(−1−3i)∣AB=\left|2-i-\left(-1-3i\right)\right|
    AB=∣2−i+1+3i∣AB=\left|2-i+1+3i\right|
    AB=∣3+2i∣AB=\left|3+2i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AB=32+22AB=\sqrt{3^{2} +2^{2} }
    AB=9+4AB=\sqrt{9+4}
    Ainsi :
    AB=13AB=\sqrt{13}

    Question 2

    Calculer la distance ACAC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • AC=∣zC−zA∣AC=\left|z_{C} -z_{A} \right| équivaut successivement à :
    AC=∣−3+4i−(−1−3i)∣AC=\left|-3+4i-\left(-1-3i\right)\right|
    AC=∣−3+4i+1+3i∣AC=\left|-3+4i+1+3i\right|
    AC=∣−2+7i∣AC=\left|-2+7i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • AC=(−2)2+72AC=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +7^{2} }
    AC=4+49AC=\sqrt{4+49}
    Ainsi :
    AC=53AC=\sqrt{53}
    Question 3

    Calculer la distance DCDC .

    Correction
      Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B .
  • La distance\red{\text{distance}} ABAB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣AB=\left|z_{B} -z_{A} \right|=\left|z_{A} -z_{B} \right|
    • DC=∣zC−zD∣DC=\left|z_{C} -z_{D} \right| équivaut successivement à :
    DC=∣−3+4i−(−5+6i)∣DC=\left|-3+4i-\left(-5+6i\right)\right|
    DC=∣−3+4i+5−6i∣DC=\left|-3+4i+5-6i\right|
    DC=∣2−2i∣DC=\left|2-2i\right|
      zz est un nombre complexe sous forme algébrique x+iyx+iy où xx et yy sont des réels.
  • On appelle module\red{\text{module}} de zz le nombre réel positif ∣z∣=x2+y2\left|z\right|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } .
    • DC=22+(−2)2DC=\sqrt{2^{2} +\left(-2\right)^{2} }
    DC=4+4DC=\sqrt{4+4}
    DC=8DC=\sqrt{8}
    DC=4×2DC=\sqrt{4\times 2}
    DC=4×2DC=\sqrt{4} \times \sqrt{2}
    Ainsi :
    DC=22DC=2\sqrt{2}