Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Septembre 2021 - Exercice 1

$$\red{\text{L'affirmation est vraie}}$$
Soit $$z=\frac{2-i}{1-3i}$$ . Commençons par donner la forme algébrique de $$z$$ puis la forme exponentielle de $$z$$.
$$\blue{\text{Calculons la forme algébrique de}}$$ $$\blue{z}$$
$$z=\frac{\left(2-i\right)\left(1+3i\right)}{\left(1-3i\right)\left(1+3i\right)}$$
$$z=\frac{2\times 1+2\times \left(3i\right)+\left(-i\right)\times 1+\left(-i\right)\times 3i}{1^{2} +3^{2} }$$
$$z=\frac{2+6i-i-3i^{2} }{10}$$
$$z=\frac{2+6i-i-3\times \left(-1\right)}{10}$$
$$z=\frac{2+6i-i+3}{10}$$
$$z=\frac{5+5i}{10}$$
$$z=\frac{5}{10} +\frac{5i}{10}$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Calculons la forme exponentielle de}}$$ $$\blue{z}$$
Soit $$z=\frac{1}{2} +\frac{1}{2} i$$
$$\red{\text{Première étape :}}$$ Calcul du module de $$z$$
$$\left|z \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{2}{4} } =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{4} }$$ $$\;$$ ainsi $$\;$$ $$\left|z \right|=\frac{\sqrt{2} }{2}$$
$$\red{\text{Deuxième étape :}}$$ Calcul d'un argument de $$z$$
Pour l'argument $$\theta$$ on sait que $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie réelle de } z}{\text{module de } z} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\text{partie imaginaire de } z}{\text{module de } z } } \end{array}\right.$$
On a donc : $$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} } } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} }} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\cos \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \\ {\sin \left(\theta \right)} & {=} & {\frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right.$$
Avec le cercle trigonométrique on en déduit que $$\left[2\pi \right]$$ signifie modulo $$2\pi$$
Il en résulte donc que l'écriture exponentielle de $$z$$ est alors :
Nous allons maintenant pouvoir calculer $$z^{4}$$
$$z^{4} =\left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{4} \left(e^{i\frac{\pi }{4} } \right)^{4}$$
$$z^{4} =\frac{1}{4} \times e^{i\frac{\pi }{4} \times 4}$$
$$z^{4} =\frac{1}{4} \times e^{i\pi }$$
$$z^{4} =\frac{1}{4} \times \left(\cos \left(\pi \right)+i\sin \left(\pi \right)\right)$$
$$z^{4} =\frac{1}{4} \times \left(-1+0i\right)$$
Ainsi :