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Calculs de dérivées avec les fonctions cos⁡(x)\cos\left(x\right) et sin⁡(x)\sin\left(x\right) - Exercice 2

5 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\color{red}\boxed{\left(uv\right)'=u'v+uv'} avec u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right)
Ainsi : u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Il vient alors que :
f′(x)=cos⁡(x)×cos⁡(x)+sin⁡(x)×(−sin⁡(x))f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
Ainsi :
f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)f'\left(x\right)=\cos ^{2} \left(x\right)-\sin ^{2} \left(x\right)

Question 2
Soit II un intervalle que l'on ne cherchera pas à déterminer.

Soit ff la fonction dérivable sur II telle que f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} . Calculer la dérivée de ff .

Correction
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=sin⁡(x)f\left(x\right)=\sin \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=cos⁡(x)f'\left(x\right)=\cos \left(x \right)
Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R} définie par f(x)=cos⁡(x)f\left(x\right)=\cos \left(x \right).
Pour tout réel xx, on a alors : f′(x)=−sin⁡(x)f'\left(x\right)=-\sin \left(x \right)
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right)
Ainsi : u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
Il vient alors que :
f′(x)=cos⁡(x)×cos⁡(x)−sin⁡(x)×(−sin⁡(x))cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos \left(x\right)\times \cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)\times \left(-\sin \left(x\right)\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}
f′(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)} . On rappelle que cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\color{blue}\boxed{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1}
Ainsi :
f′(x)=1cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}