Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Métropole Antilles–Guyane septembre 2022 - Exercice 1

Soit $$f$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ définie par $$f\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$ .
Il vient :
$$f'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$$
Puis :
$$f''\left(x\right)=-\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)$$
Or :
$$f''\left(x\right)+f\left(x\right)=-\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$
Ainsi :
Il en résulte donc que $$f$$ est solution de l’équation différentielle : $$y''+y=0$$ .

On introduit la fonction $$h\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ .
D'après le rappel, on sait que : $$\cos\left(a-b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)$$
$$h\left(x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ équivaut successivement à :
$$h\left(x\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$$
$$h\left(x\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}+\sin\left(x\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$h\left(x\right)=\cos\left(x\right)\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}+\sin\left(x\right)\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{2}$$
$$h\left(x\right)=\cos\left(x\right)\times\frac{2}{2}+\sin\left(x\right)\times\frac{2}{2}$$
$$h\left(x\right)=\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)$$
Finalement : $$h\left(x\right)=f\left(x\right)$$
Il en résulte donc que :