Calculs d'intégrales faisant intervenir les primitives de la forme : $$x\mapsto u'\left(x\right)\cos \left(u\left(x\right)\right)$$ - Exercice 1

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x \right)$$ avec $${\color{red}{a=2}}$$ et $${\color{blue}b=0}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(2x\right)dx }$$
$$I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\cos \left(2x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{1}{2} \sin \left(2x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }$$
$$I=F\left(\frac{\pi }{2} \right)-F\left(0\right)$$
$$I=\frac{1}{2} \sin \left(2\times \frac{\pi }{2} \right)-\frac{1}{2} \sin \left(2\times 0\right)$$
$$I=\frac{1}{2} \sin \left(\pi \right)-\frac{1}{2} \sin \left(0\right)$$
$$I=\frac{1}{2} \sin \left(\pi \right)-\frac{1}{2} \sin \left(0\right)$$
Finalement :

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{3}}x +{\color{blue}\frac{\pi}{4}}\right)$$ avec $${\color{red}{a=3}}$$ et $${\color{blue}b=\frac{\pi}{4}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }\cos \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx }$$
$$I=\int _{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }\cos \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{1}{3} \sin \left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{\frac{\pi }{6} }^{\frac{\pi }{3} }$$
$$I=F\left(\frac{\pi }{3} \right)-F\left(\frac{\pi }{6}\right)$$
$$I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(3\times \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(3\times \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)\ }$$
$$I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\ }$$
$$I=\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{5\pi }{4}\right)\ }-\frac{1}{3}{\mathrm{sin} \left(\frac{3\pi }{4}\right)\ }$$
$$I=\frac{1}{3}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$I=-\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{6}$$
Finalement :

$$\blue{\text{Nous allons commencer par calculer une primitive de}}$$ $$\blue{f}$$
Nous avons $$f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{2}}x {\color{blue}-\frac{\pi}{3}}\right)$$ avec $${\color{red}{a=2}}$$ et $${\color{blue}b=-\frac{\pi}{3}}$$
Or une primitive de $$\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$ est de la forme $$\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ est :
$$F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)$$
Ainsi :
$$\blue{\text{Maintenant nous pouvons calculer}}$$ $$\blue{I=\int _{-\frac{\pi }{6} }^{0 }\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx}$$
$$I=\int _{-\frac{\pi }{6} }^{0 }\cos \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$I=\left[\frac{1}{2} \sin \left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right]_{-\frac{\pi }{6} }^{0}$$
$$I=F\left(0\right)-F\left(-\frac{\pi }{6}\right)$$
$$I=\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(2\times 0-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(2\times \left(-\frac{\pi }{6}\right)-\frac{\pi }{3}\right)\ }\ }$$
$$I=\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{1}{2}{\mathrm{sin} \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\ }\ }$$
$$I=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$I=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$$
Finalement :