Propriétés algébriques - Exercice 2

$$f\left(x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{x^{2} +1} \right)+\ln \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right)$$ équivaut à
$$f\left(x\right)=\ln \left(\left(-x+\sqrt{x^{2} +1} \right)\times \left(x+\sqrt{x^{2} +1} \right)\right)$$
On reconnait une identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$
Ainsi :
$$f\left(x\right)=\ln \left(\left(-\left(x\right)^{2} +\left(\sqrt{x^{2} +1} \right)^{2} \right)\right)$$ équivaut successivement à
$$f\left(x\right)=\ln \left(-x^{2} +x^{2} +1\right)$$
$$f\left(x\right)=\ln \left(1\right)$$
Finalement :
Donc $$f$$ est bien une fonction constante sur $$\mathbb{R}$$.