Exercices types : 2ème partie - Exercice 4

$$f\left(x\right)=\ln \left(1+\frac{1}{x} \right)-x.$$
On reconnait la forme $$\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}$$. On $$u\left(x\right)=1+\frac{1}{x}$$ et $$u'\left(x\right)=-\frac{1}{x^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x^{2} } }{1+\frac{1}{x} } -1$$ équivaut successivement à
$$f'\left(x\right)=\frac{-\frac{1}{x^{2} } }{\frac{x^{2} }{x^{2} } +\frac{x}{x^{2} } } -1$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{-1}{x^{2} } }{\frac{x^{2} +x}{x^{2} } } -1$$ . On rappelle que : $$\frac{\left(\frac{a}{b} \right)}{\left(\frac{c}{d} \right)} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-1}{x^{2} } \times \frac{x^{2} }{x^{2} +x} -1$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-1}{x^{2} +x} -1$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-1}{x^{2} +x} -\frac{x^{2} +x}{x^{2} +x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{-1-\left(x^{2} +x\right)}{x^{2} +x}$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=\frac{-x^{2} -x-1}{x^{2} +x} \Leftrightarrow$$
Or $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ donc $$x>0$$ et $$x+1>0$$.
Donc le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$-x^{2} -x-1$$.
On considère le trinôme $$-x^{2} -x-1$$. $$\Delta <0$$ et donc $$-x^{2} -x-1<0$$ car $$a=-1<0$$
On peut donner alors le tableau de variation de $$f$$ en indiquant les limites.
Il vient alors que :