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Fonction logarithme népérien
Exercices types : 1ère partie - Exercice 1
10 min
15
On considère la fonction
f
f
f
définie sur l'intervalle
]
0
;
+
∞
[
\left]0;+\infty \right[
]
0
;
+
∞
[
par
f
(
x
)
=
ln
(
x
)
+
a
x
+
b
f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+ax+b
f
(
x
)
=
ln
(
x
)
+
a
x
+
b
où
a
a
a
et
b
b
b
sont deux réels.
Question 1
Nous savons que
f
(
1
)
=
2
f\left(1\right)=2
f
(
1
)
=
2
et
f
′
(
1
)
=
5
f'\left(1\right)=5
f
′
(
1
)
=
5
.
Déterminer les valeurs des réels
a
a
a
et
b
b
b
.
Correction
La fonction
f
f
f
est dérivable sur
]
0
;
+
∞
[
\left]0;+\infty \right[
]
0
;
+
∞
[
.
Il vient alors que :
f
′
(
x
)
=
1
x
+
a
f'\left(x\right)=\frac{1}{x}+a
f
′
(
x
)
=
x
1
+
a
Or :
f
′
(
1
)
=
5
⇔
(
1
1
+
a
=
5
)
f'\left(1\right)=5\Leftrightarrow \left(\frac{1}{1} +a=5\right)
f
′
(
1
)
=
5
⇔
(
1
1
+
a
=
5
)
. Il vient alors que :
a
=
4
a=4
a
=
4
De plus :
f
(
1
)
=
2
⇔
(
ln
(
1
)
+
a
×
1
+
b
=
2
)
f\left(1\right)=2\Leftrightarrow \left(\ln \left(1\right)+a\times 1+b=2\right)
f
(
1
)
=
2
⇔
(
ln
(
1
)
+
a
×
1
+
b
=
2
)
. Ainsi :
a
+
b
=
2
a+b=2
a
+
b
=
2
.
Nous savons, que
a
=
4
a=4
a
=
4
, ainsi :
a
+
b
=
2
⇔
b
=
−
2
a+b=2\Leftrightarrow b=-2
a
+
b
=
2
⇔
b
=
−
2
La fonction
f
f
f
s'écrit alors :
f
(
x
)
=
ln
(
x
)
+
4
x
−
2
f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+4x-2
f
(
x
)
=
ln
(
x
)
+
4
x
−
2