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Dérivées ln(x) - Exercice 2

15 min
30
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes.
On supposera que toutes les fonctions de l'exercice seront dérivables sur l'intervalle I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty \right[
Question 1

g(x)=2x3−1+2ln⁡(x)g\left(x\right)=2x^{3} -1+2\ln \left(x\right).

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
g′(x)=6x2+2xg'\left(x\right)=6x^{2} +\frac{2}{x}
Question 2

f(x)=2x−ln⁡(x)x2f\left(x\right)=2x-\frac{\ln \left(x\right)}{x^{2} } .

Correction
(ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)^{'} =\frac{1}{x}
On reconnait la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=ln⁡(x)u\left(x\right)=\ln \left(x\right) et v(x)=x2v\left(x\right)=x^{2} .
Ainsi u′(x)=1xu'\left(x\right)=\frac{1}{x} et v′(x)=2xv'\left(x\right)=2x.
Il vient alors que :
f′(x)=2−1x×(x2)−2xln⁡(x)(x2)2f'\left(x\right)=2-\frac{\frac{1}{x} \times \left(x^{2} \right)-2x\ln \left(x\right)}{\left(x^{2} \right)^{2} } équivaut successivement à
f′(x)=2−x−2xln⁡(x)x4f'\left(x\right)=2-\frac{x-2x\ln \left(x\right)}{x^{4} }
f′(x)=2x4−(x−2xln⁡(x))x4f'\left(x\right)=\frac{2x^{4} -\left(x-2x\ln \left(x\right)\right)}{x^{4} }
f′(x)=2x4−(x−2xln⁡(x))x4f'\left(x\right)=\frac{2x^{4} -\left(x-2x\ln \left(x\right)\right)}{x^{4} }
f′(x)=2x4−x+2xln⁡(x)x4f'\left(x\right)=\frac{2x^{4} -x+2x\ln \left(x\right)}{x^{4} }
On factorise maintenant le numérateur par xx, ainsi : f′(x)=x(2x3−1+2ln⁡(x))x4f'\left(x\right)=\frac{x\left(2x^{3} -1+2\ln \left(x\right)\right)}{x^{4} }
Finalement :
f′(x)=2x3−1+2ln⁡(x)x3f'\left(x\right)=\frac{2x^{3} -1+2\ln \left(x\right)}{x^{3} }