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1Baccalauréat STI2D & STL/SPCL Centres étrangers 4 mai 2022 - Exercice 1

15 min
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Question 1

Résoudre dans ]1;+∞[\left]1 ; +\infty\right[ l’équation : ln(x−1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x2−1) −ln(0,5) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(0,5\right)\ }

Correction
Soit x∈]1;+∞[x\in \left]1 ; +\infty\right[ .
ln(x−1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x2−1) −ln(0,5) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(0,5\right)\ } équivaut successivement à :
ln(x−1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x2−1) −ln(12) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-{\mathrm{ln} \left(\frac{1}{2}\right)\ }
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
ln(x−1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x2−1) −(−ln(2) ){\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }-\left(-{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }\right)
ln(x−1) +ln(x+1) +ln(x) =ln(x2−1) +ln(2) {\mathrm{ln} \left(x-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x+1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(2\right)\ }
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
ln((x−1)(x+1)) +ln(x) =ln((x2−1)×2) {\mathrm{ln} \left(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
  • (a−b)(a+b)=a2−b2\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right) ={\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}
ln(x2−1) +ln(x) =ln((x2−1)×2) {\mathrm{ln} \left(x^2-1\right)\ }+{\mathrm{ln} \left(x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
ln((x2−1)×x) =ln((x2−1)×2) {\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times x\right)\ }={\mathrm{ln} \left(\left(x^2-1\right)\times 2\right)\ }
ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
(x2−1)×x=(x2−1)×2\left(x^2-1\right)\times x=\left(x^2-1\right)\times 2
(x2−1)×x−(x2−1)×2=0\left(x^2-1\right)\times x-\left(x^2-1\right)\times 2=0
On factorise par : (x2−1)\left(x^2-1\right)
(x2−1)×(x−2)=0\left(x^2-1\right)\times \left(x-2\right)=0
(x−1)×(x+1)×(x−2)=0\left(x-1\right)\times \left(x+1\right)\times \left(x-2\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nul :
x−1=0x-1=0 ou x+1=0x+1=0 ou x−2=0x-2=0
x=1x=1 ou x=−1x=-1 ou x=2x=2
N'oublions que nous étudions l'équation sur l'intervalle ]1;+∞[\left]1 ; +\infty\right[
Or seul 2∈]1;+∞[2\in \left]1 ; +\infty\right[ car 1∉]1;+∞[1\notin \left]1 ; +\infty\right[ et −1∉]1;+∞[-1\notin \left]1 ; +\infty\right[
Ainsi l'unique solution est :
S={2}S=\left\{2\right\}