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Savoir résoudre les inéquations de la forme ea≥ebe^{a} \ge e^{b} ou ea≤ebe^{a} \le e^{b} - Exercice 1

8 min
25
Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :
Question 1

ex≥e4e^{x} \ge e^{4}

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
ex≥e4e^{x} \ge e^{4} équivaut successivement à :
D'où
x≥4x \ge 4

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=[4;+∞[S=\left[4 ;+\infty \right[

Question 2

e2x≥1e^{2x} \ge1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B ou encore eA>eB⇔A>Be^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
e2x≥1e^{2x} \ge1 équivaut successivement à :
e2x≥e0e^{2x} \ge e^{0}
2x≥02x\ge 0
x≥02x\ge \frac{0}{2}
D'où
x≥0x\ge 0

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=[0;+∞[S=\left[0 ;+\infty \right[

Question 3

ex≤e6e^{x} \le e^{6}

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
ex≤e6e^{x} \le e^{6} équivaut successivement à :
D'où
x≤6x \le 6

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=]−∞;6]S=\left]-\infty;6 \right]
Question 4

e3x<1e^{3x} < 1

Correction
  • e0=1e^{0} =1
  • eA≤eB⇔A≤Be^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B ou encore eA<eB⇔A<Be^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e3x<1e^{3x} < 1 équivaut successivement à :
e3x<e0e^{3x} < e^{0}
3x<03x< 0
x<03x< \frac{0}{3}
D'où
x<0x< 0

Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S=]−∞;0[S=\left]-\infty ;0\right[