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Enseignement de spécialité
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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir résoudre les inéquations de la forme
e
a
≥
e
b
e^{a} \ge e^{b}
e
a
≥
e
b
ou
e
a
≤
e
b
e^{a} \le e^{b}
e
a
≤
e
b
- Exercice 1
8 min
25
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les inéquations suivantes :
Question 1
e
x
≥
e
4
e^{x} \ge e^{4}
e
x
≥
e
4
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
e^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
ou encore
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e
x
≥
e
4
e^{x} \ge e^{4}
e
x
≥
e
4
équivaut successivement à :
D'où
x
≥
4
x \ge 4
x
≥
4
Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S
=
[
4
;
+
∞
[
S=\left[4 ;+\infty \right[
S
=
[
4
;
+
∞
[
Question 2
e
2
x
≥
1
e^{2x} \ge1
e
2
x
≥
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
e^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A\ge B
e
A
≥
e
B
⇔
A
≥
B
ou encore
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e^{A} > e^{B} \Leftrightarrow A> B
e
A
>
e
B
⇔
A
>
B
e
2
x
≥
1
e^{2x} \ge1
e
2
x
≥
1
équivaut successivement à :
e
2
x
≥
e
0
e^{2x} \ge e^{0}
e
2
x
≥
e
0
2
x
≥
0
2x\ge 0
2
x
≥
0
x
≥
0
2
x\ge \frac{0}{2}
x
≥
2
0
D'où
x
≥
0
x\ge 0
x
≥
0
Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S
=
[
0
;
+
∞
[
S=\left[0 ;+\infty \right[
S
=
[
0
;
+
∞
[
Question 3
e
x
≤
e
6
e^{x} \le e^{6}
e
x
≤
e
6
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
e^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
ou encore
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e
x
≤
e
6
e^{x} \le e^{6}
e
x
≤
e
6
équivaut successivement à :
D'où
x
≤
6
x \le 6
x
≤
6
Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S
=
]
−
∞
;
6
]
S=\left]-\infty;6 \right]
S
=
]
−
∞
;
6
]
Question 4
e
3
x
<
1
e^{3x} < 1
e
3
x
<
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
e^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B
e
A
≤
e
B
⇔
A
≤
B
ou encore
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e^{A} < e^{B} \Leftrightarrow A< B
e
A
<
e
B
⇔
A
<
B
e
3
x
<
1
e^{3x} < 1
e
3
x
<
1
équivaut successivement à :
e
3
x
<
e
0
e^{3x} < e^{0}
e
3
x
<
e
0
3
x
<
0
3x< 0
3
x
<
0
x
<
0
3
x< \frac{0}{3}
x
<
3
0
D'où
x
<
0
x< 0
x
<
0
Ainsi, l'ensemble des solutions est :
S
=
]
−
∞
;
0
[
S=\left]-\infty ;0\right[
S
=
]
−
∞
;
0
[