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Enseignement de spécialité
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Fonction exponentielle de base $e$
Savoir résoudre les équations de la forme
e
a
=
e
b
e^{a}=e^{b}
e
a
=
e
b
- Exercice 1
10 min
25
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les équations suivantes :
Question 1
e
x
=
e
9
e^{x} =e^{9}
e
x
=
e
9
Correction
e
x
=
e
9
e^{x} =e^{9}
e
x
=
e
9
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
Ainsi :
x
=
9
x=9
x
=
9
Question 2
e
x
=
1
e^{x} =1
e
x
=
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
x
=
1
e^{x} =1
e
x
=
1
équivaut successivement à :
e
x
=
e
0
e^{x} =e^{0}
e
x
=
e
0
Ainsi :
x
=
0
x=0
x
=
0
Question 3
e
x
=
−
2
e^{x} =-2
e
x
=
−
2
Correction
Il n'y a pas de solution à cette équation.
En effet,
e
x
>
0
e^{x}>0
e
x
>
0
et ne peut donc pas égale à
−
2
-2
−
2
qui est strictement négatif .
Question 4
e
2
x
+
5
=
e
6
e^{2x+5} =e^{6}
e
2
x
+
5
=
e
6
Correction
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
2
x
+
5
=
e
6
e^{2x+5} =e^{6}
e
2
x
+
5
=
e
6
équivaut successivement à :
2
x
+
5
=
6
2x+5 =6
2
x
+
5
=
6
2
x
=
6
−
5
2x=6-5
2
x
=
6
−
5
2
x
=
1
2x=1
2
x
=
1
Ainsi :
x
=
1
2
x=\frac{1}{2}
x
=
2
1
Question 5
e
5
x
+
10
=
1
e^{5x+10} =1
e
5
x
+
10
=
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
5
x
+
10
=
1
e^{5x+10} =1
e
5
x
+
10
=
1
équivaut successivement à :
e
5
x
+
10
=
e
0
e^{5x+10} =e^{0}
e
5
x
+
10
=
e
0
5
x
+
10
=
0
5x+10=0
5
x
+
10
=
0
5
x
=
−
10
5x=-10
5
x
=
−
10
x
=
−
10
5
x=\frac{-10}{5}
x
=
5
−
10
Ainsi :
x
=
−
2
x=-2
x
=
−
2
Question 6
e
−
x
=
1
e^{-x} =1
e
−
x
=
1
Correction
e
0
=
1
e^{0} =1
e
0
=
1
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e^{A} =e^{B} \Leftrightarrow A=B
e
A
=
e
B
⇔
A
=
B
e
−
x
=
1
e^{-x} =1
e
−
x
=
1
équivaut successivement à :
e
−
x
=
e
0
e^{-x} =e^{0}
e
−
x
=
e
0
−
x
=
0
-x=0
−
x
=
0
Ainsi :
x
=
0
x=0
x
=
0