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Savoir étudier le signe d'expressions avec des exponentielles - Exercice 1

15 min
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Question 1
Déterminer le signe des fonctions suivantes sur R\mathbb{R} .

f(x)=7+exf\left(x\right)=7+e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0 et de plus 7>07>0.
Il en résulte donc que 7+ex>07+e^{x}>0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)>0f\left(x\right)>0
Question 2

f(x)=−3exf\left(x\right)=-3e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0 et de plus −3<0-3<0.
Il en résulte donc que −3ex<0-3e^{x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 3

f(x)=−6−8exf\left(x\right)=-6-8e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0. Or −8<0-8<0 ainsi −8ex<0-8e^{x}<0. De plus −6<0-6<0.
Il en résulte donc que −6−8ex<0-6-8e^{x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 4

f(x)=7ex+3f\left(x\right)=7e^{x}+3

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0, donc 7ex>07e^{x}>0 et de plus 3>03>0.
Il en résulte donc que 7ex+3>07e^{x}+3>0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)>0f\left(x\right)>0
Question 5

f(x)=−exf\left(x\right)=-e^{x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
f(x)=−ex=−1exf(x)=-e^x=-1e^x
Pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0. Or −1<0-1<0 ainsi −1ex<0-1e^{x}<0.
Il en résulte donc que −ex<0-e^{x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 6

f(x)=e−5xf\left(x\right)=e^{-5x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive, donc e−5x>0e^{-5x}>0.
De ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)>0f\left(x\right)>0
Question 7

f(x)=−2e−3xf\left(x\right)=-2e^{-3x}

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive, donc : e−3x>0e^{-3x}>0. Or −2<0-2<0 ainsi −2e−3x<0-2e^{-3x}<0.
Il en résulte donc que −2e−3x<0-2e^{-3x}<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0
Question 8

f(x)=3e−2x+8f\left(x\right)=3e^{-2x}+8

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive, donc : e−2x>0e^{-2x}>0. Or 3>03>0 ainsi 3e−2x>03e^{-2x}>0.
De plus 8>08>0.
Il en résulte donc que 3e−2x+8>03e^{-2x}+8>0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)>0f\left(x\right)>0
Question 9

f(x)=−7e−0,5x−1f\left(x\right)=-7e^{-0,5x}-1

Correction
  • La fonction exponentielle est strictement positive. Autrement dit, pour tout réel xx, on a : ex>0e^{x}>0
ff est définie sur R\mathbb{R} .
Pour tout réel xx, on rappelle qu'une exponentielle est strictement positive, donc: e−0,5x>0e^{-0,5x}>0. Or −7<0-7<0 ainsi −7e0,5x<0-7e^{0,5x}<0.
De plus −1<0-1<0.
Il en résulte donc que −7e−0,5x−1<0-7e^{-0,5x}-1<0 et de ce fait , pour tout réel xx, on a : f(x)<0f\left(x\right)<0