Les primitives de la forme $$u'\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$$ sont $$e^{u\left(x\right)}$$ - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=4e^{4x+1}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=4x+1$$ et donc $$u'\left(x\right)=4$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{4}\red{e^{4x+1}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=6e^{3x-5}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=3x-5$$ et donc $$u'\left(x\right)=3$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{3}\red{e^{3x-5}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{2}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{2}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=-2e^{-2x}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=-2x$$ et donc $$u'\left(x\right)=-2$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{-2}\red{e^{-2x}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=5e^{7x+2}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=7x-2$$ et donc $$u'\left(x\right)=7$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{7}\red{e^{7x+2}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{\frac{5}{7}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=0,5e^{0,5x+1}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=0,5x+1$$ et donc $$u'\left(x\right)=0,5$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{0,5}\red{e^{0,5x+1}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=2xe^{x^{2}-5}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=x^2-5$$ et donc $$u'\left(x\right)=2x$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{2x}\red{e^{x^2-5}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=-e^{-x+9}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=-x+9$$ et donc $$u'\left(x\right)=-1$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\blue{-1}\red{e^{-x+9}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=12e^{2x-5}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=2x-5$$ et donc $$u'\left(x\right)=2$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{2}\red{e^{2x-5}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=18x^{2}e^{x^{3}-5}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)={x^3-5}$$ et donc $$u'\left(x\right)=3x^2$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{3x^2}\red{e^{x^3-5}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{6}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{6}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=\frac{e^{5x} }{5}={\color{purple}\frac{1}{5}}{{\color{red}e^{5x}}}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)={5x}$$ et donc $$u'\left(x\right)=5$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{5}\red{e^{5x}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{\frac{1}{25}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$

Soit $$f\left(x\right)=3e^{2x+1}$$ .
On note $$u$$ la fonction dérivable sur $$\mathbb{R}$$ par $$u\left(x\right)=2x+1$$ et donc $$u'\left(x\right)=2$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ c'est à dire $$f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{2}\red{e^{2x+1}}$$
Il en résulte donc qu'une primitive de $$f\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\blue{u'\left(x\right)}\red{e^{u\left(x\right)}}$$ est la fonction $$F\left(x\right)=\purple{\frac{3}{2}}\times\red{e^{u\left(x\right)}}$$
Finalement, la fonction est une primitive de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$