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Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 1

20 min

Question 1

On sort une tarte du four et on note que sa température est de

180

°C. On suppose que la température ambiante de la cuisine est supposée constante à

20

°C. La température de la tarte est donnée par une fonction

g

du temps

t

, exprimé en heures, qui est solution de l’équation différentielle :

y'+1,38y=27,6

Résoudre l’équation différentielle et donner sa solution particulière $g$ déﬁnie par la condition initiale $g\left(0\right)=180$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'+ay=b

où

a

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{-ax} +\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

Nous devons résoudre :

y'+1,38y=27,6

On identifie ici que :

a=1,38

b=27,6

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

g\left(t\right)=ke^{-1,38t} +\frac{27,6}{1,38}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

g\left(t\right)=ke^{-1,38t}+20

où

k

est une constante réelle
Or on sait que

g\left(0\right)=180

, il vient alors que :

g\left(0\right)=180

équivaut successivement à :

ke^{-1,38\times 0}+20=180

ke^{0}+20=180

e^{0}=1

k+20=180

D'où :

k=160

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'+1,38y=27,6

tel que

g\left(0\right)=180

est alors :

g\left(t\right)=160e^{-1,38t}+20

Question 2

En utilisant l'expression

g\left(t\right)

trouvée :

Quelle est la température, arrondie au degré près, de la tarte $30$ minutes après l’avoir sorti du four?

Correction

Au bout de

30

minutes, cela signifie une demi-heure. Rappelons que

t

est exprimé en heure, d'où:

g\left(\frac{1}{2}\right)=160e^{-1,38\times\frac{1}{2} }+20

g\left(\frac{1}{2}\right)\approx100

La température, arrondie au degré près, de la tarte

30

minutes après l’avoir sorti du four est de

100

°C.

Question 3

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à $25$ °C?

Correction

$e^{\ln A} =A$ avec $A>0$
$e^{A} \le e^{B} \Leftrightarrow A\le B$

Nous devons résoudre l'équation :

g\left(t\right) \le25

Ainsi :

g\left(t\right) \le25

équivaut successivement à :

160e^{-1,38t}+20\le25

160e^{-1,38t}\le5

e^{-1,38t}\le\frac{5}{160}

e^{-1,38t}\le e^{\ln \left(\frac{5}{160} \right)}

-1,38t \le\ln \left(\frac{5}{160} \right)

t\ge\frac{\ln \left(\frac{5}{160} \right)}{-1,38}

t\approx2,51

Il faut approximativement

2

heures et

30

minutes pour atteindre une température inférieure à

25

°C?

Exercices types : Equation différentielles du premier ordre - Exercice 1

Résoudre l’équation différentielle et donner sa solution particulière ggg déﬁnie par la condition initiale g(0)=180g\left(0\right)=180g(0)=180.

Quelle est la température, arrondie au degré près, de la tarte 303030 minutes après l’avoir sorti du four?

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 252525°C?

Résoudre l’équation différentielle et donner sa solution particulière $g$ déﬁnie par la condition initiale $g\left(0\right)=180$ .

Quelle est la température, arrondie au degré près, de la tarte $30$ minutes après l’avoir sorti du four?

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à $25$ °C?