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Suite géométrique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 3

10 min
20
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison qq.
Question 1
On sait que u2=5u_{2} =5 et q=3q=3.

Exprimer unu_{n} en fonction de nn.

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up×qn−pu_{n} =u_{p} \times q^{n-p}
On peut écrire, dans notre cas, que :
un=u2×qn−2u_{n} =u_{2} \times q^{n-2}
un=5×3n−2u_{n} =5\times 3^{n-2}
Question 2
On sait que u3=32u_{3} =32 et u5=128u_{5} =128.
On sait que q>0q>0.

Déterminer qq puis u0u_{0} .

Correction
L'expression de unu_{n} en fonction de nn est : un=up×qn−pu_{n} =u_{p} \times q^{n-p}
Il vient alors que :
u5=u3×q5−3u_{5} =u_{3} \times q^{5-3} équivaut successivement à :
u5=u3×q2u_{5} =u_{3} \times q^{2}
128=32×q2128 =32\times q^{2}
12832=q2\frac{128}{32} =q^{2}
q2=4q^{2}=4. Comme q>0q>0 alors
q=2q=2
.
Maintenant, pour calculer la valeur de u0u_{0} , on exprime unu_{n} en fonction de nn. Ainsi :
un=up×qn−pu_{n} =u_{p} \times q^{n-p} équivaut successivement à :
u5=u0×q5−0u_{5} =u_{0} \times q^{5-0}
128=u0×32128 =u_{0} \times 32
u0=12832u_{0}=\frac{128}{32}
u0=4u_{0}=4