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Suite arithmétique sous forme de problème - Exercice 1

20 min
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Selma souhaite acheter son prochain téléphone grâce à son argent de poche. Dans sa tirelire, elle a déjà 7575 euros . Chaque mois ses parents lui donne 2525 euros d'argent de poche.
Pour tout entier naturel nn, on note unu_{n} la somme disponible dans sa tirelire après nn mois. On a donc u0=75u_{0}=75 .
Question 1

Déterminer u1u_{1} et u2u_{2} .

Correction
Nous savons que u0=75u_{0}=75 dépôt initial dans la tirelire.
  • u1u_{1} est la somme disponible dans la tirelire le premier mois. Nous allons rajouter les 2525 euros d'argent de poche.
    • Ainsi :
    u1=75+25u_{1}=75+25 d'où
    u1=100u_{1}=100
  • u2u_{2} est la somme disponible dans la tirelire le deuxième mois. Nous allons rajouter les 2525 euros d'argent de poche au montant disponible du premier mois.
    • Ainsi :
    u2=100+25u_{2}=100+25 d'où
    u2=125u_{2}=125
    Question 2

    Expliquer pour la suite (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmétique. Exprimer alors un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} .

    Correction
    Chaque mois, les parents de Selma lui verse 2525 euros d'argent de poche. Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 2525.
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmeˊtique{\color{blue}\text{arithmétique}} de raison r=25r=25.
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • Ainsi :
    un+1=un+25u_{n+1} =u_{n} +25
    Question 3

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=75u_{0} =75 et la raison vaut r=25r=25.
    un=75+n×25u_{n} =75+n\times 25
    Autrement dit :
    un=75+25nu_{n} =75 +25n
    Question 4

    Déterminer le nombre de mois nécessaire pour que Selma dispose de 250250 euros.

    Correction
    Il nous faut résoudre l'équation un=250u_{n}=250
    Ainsi :
    75+25n=25075+25n=250
    25n=250−7525n=250-75
    25n=17525n=175
    n=17525n=\frac{175}{25}
    Ainsi :
    n=7n=7

    Au bout de 77 mois, selma aura mis de côté 250250 euros.
    Question 5

    Le téléphone que souhaite se procurer Selma coûte un peu plus de 385385 euros. Combien de mois devra-t-elle patienter ?

    Correction
    Il nous faut résoudre l'équation un≥385u_{n}\ge 385
    75+25n≥38575+25n\ge 385
    25n≥385−7525n\ge 385-75
    25n≥31025n\ge 310
    n≥31025n\ge \frac{310}{25}
    n≥12,4n\ge 12,4
    Il est important de se rappeler que nn est un entier naturel.
    Le premier entier naturel nn supérieur à 12,412,4 est alors l'entier n=13n=13 .
    Il en résulte donc qu'après 1313 mois, Selma pourra s'acheter son téléphone .