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Suite arithmétique : Ce qu'il faut savoir - Exercice 2

10 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique de raison r=3r=3 et de premier terme u0=4u_{0} =4.
Question 1

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un+ru_{n+1} =u_{n} +r où rr est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite arithmétique.
    • La raison est r=3r=3
    Ainsi :
    un+1=un+3u_{n+1} =u_{n} +3
    Question 2

    Exprimer unu_{n} en fonction de nn.
    Donner le terme général de la suite unu_{n} . Ces deux phrases signifient la même chose .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite arithmétique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0+n×ru_{n} =u_{0} +n\times r : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1+(n−1)×ru_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=4u_{0} =4 et la raison vaut r=3r=3.
    Il en résulte donc que : un=4+n×3u_{n} =4 +n\times 3
    Autrement dit :
    un=4+3nu_{n} =4 +3n
    Question 3

    Calculer u1u_{1} et u8u_{8}.

    Correction
    D'après la question 22, nous savons que : un=4+3nu_{n} =4 +3n
  • Calcul de \text{\red{Calcul de }}u1\red{u_{1}}
    • u1=4+3×1u_{1} =4 +3\times 1
    u1=4+3u_{1} =4 +3 d'où :
    u1=7u_{1} =7
  • Calcul de \text{\red{Calcul de }}u8\red{u_{8}}
    • u8=4+3×8u_{8} =4 +3\times 8
    u8=4+24u_{8} =4 +24 d'où :
    u8=28u_{8} =28

    Question 4

    Déterminer le plus petit entier nn tel que : un>62u_{n}>62

    Correction
    D'après la question 22, nous savons que : un=4+3nu_{n} =4 +3n
    Il nous faut donc résoudre l'inéquation un>62u_{n}>62
    Il vient alors que :
    4+3n>624 +3n>62
    3n>62−43n>62-4
    3n>583n>58
    n>583n>\frac{58}{3} Or : 583≈19,33\frac{58}{3} \approx 19,33
    Le premier entier strictement supérieur à la valeur 583≈19,33\frac{58}{3} \approx 19,33 est l'entier n=20n=20
    Le plus petit entier nn tel que : un>62u_{n}>62 est alors l'entier n=20n=20