Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base aa - Exercice 4

10 min
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Question 1

D=73−x×72+6xD=7^{3-x} \times 7^{2+6x}

Correction
Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • D=73−x×72+6xD=7^{3-x} \times 7^{2+6x}
    D=7(3−x)+(2+6x)D=7^{(3-x)+(2+6x)}
    D=73−x+2+6xD=7^{3-x+2+6x}
    Ainsi :
    D=75x+5D=7^{5x+5}
    Question 2

    E=(5x)2×5−4x52−8xE=\frac{\left(5^{x} \right)^{2} \times 5^{-4x} }{5^{2-8x} }

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • E=(5x)2×5−4x52−8xE=\frac{\left(5^{x} \right)^{2} \times 5^{-4x} }{5^{2-8x} }
    E=52×x×5−4x52−8xE=\frac{5^{2\times{x}} \times 5^{-4x} }{5^{2-8x} }
    E=52x+(−4x)52−8xE=\frac{5^{2x+(-4x)} }{5^{2-8x} }
    E=5−2x52−8xE=\frac{5^{-2x} }{5^{2-8x} }
    E=5−2x−(2−8x)E={5^{-2x-(2-8x)} }     \;\; ⟹\color{red}\Longrightarrow     \;\; E=5−2x−2+8xE=5^{-2x-2+8x}
    Ainsi :
    E=56x−2E=5^{6x-2}
    Question 3

    F=(112x−4)3×117x+9(11−5x+8)−2F=\frac{\left(11^{2x-4} \right)^{3} \times 11^{7x+9} }{\left(11^{-5x+8} \right)^{-2} }

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=ax−y\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
    • F=(112x−4)3×117x+9(11−5x+8)−2F=\frac{\left(11^{2x-4} \right)^{3} \times 11^{7x+9} }{\left(11^{-5x+8} \right)^{-2} }
    F=112x×3−4×3×117x+911−5x×(−2)+8×(−2)F=\frac{11^{2x\times3-4\times3} \times 11^{7x+9} }{11^{-5x\times{(-2)}+8\times{(-2)}} }
    F=116x−12×117x+91110x−16F=\frac{11^{6x-12} \times 11^{7x+9} }{11^{10x-16}}
    F=116x−12+7x+91110x−16F=\frac{11^{6x-12+7x+9} }{11^{10x-16}}      \;\;\; ⟹\color{red}\Longrightarrow       \;\;\; F=1113x−31110x−16F=\frac{11^{13x-3}}{11^{10x-16}}
    F=11(13x−3)−(10x−16)F=11^{(13x-3)-(10x-16)}       \;\;\; ⟹\color{red}\Longrightarrow       \;\;\; F=1113x−3−10x+16F=11^{13x-3-10x+16}
    Ainsi :
    F=113x+13F=11^{3x+13}

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