Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  →

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Etudier le sens de variation d'une fonction de la forme x↦kaxx\mapsto ka^{x} - Exercice 1

4 min
10
Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=4×3x f\left(x\right)=4\times 3^{x}

Correction
    Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit f(x)=4×3x f\left(x\right)={\color{blue}{4}}\times {\color{purple}{3}}^{x} où a=3>1{\color{purple}{a=3>1}} et 4>0{\color{blue}{4>0}}.
    Il en résulte donc que f(x)=4×3x f\left(x\right)=4\times 3^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 2

    g(x)=−5×(0,4)xg\left(x\right)=-5\times \left(0,4\right)^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit g(x)=−5×(0,4)xg\left(x\right)={\color{blue}-5}\times \left(0,4\right)^{x} où 0<a=0,4<1{\color{purple}{0<a=0,4<1}} et k=−5<0{\color{blue}{k=-5<0}}.
    Il en résulte donc que g(x)=−5×(0,4)xg\left(x\right)=-5\times \left(0,4\right)^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 3

    h(x)=−9×(1,2)xh\left(x\right)=-9\times \left(1,2\right)^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit h(x)=−9×(1,2)xh\left(x\right)={\color{blue}-9}\times \left(1,2\right)^{x} où a=1,2>1{\color{purple}{a=1,2>1}} et k=−9<0{\color{blue}{k=-9<0}}.
    Il en résulte donc que h(x)=−9×(1,2)xh\left(x\right)=-9\times \left(1,2\right)^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    Question 4

    i(x)=0,2×(0,8)xi\left(x\right)=0,2\times \left(0,8\right)^{x}

    Correction
      Soient k{\color{blue}{k}} un réel et a{\color{purple}{a}} un réel strictement positif .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k>0{\color{blue}{k>0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et 0<a<1{\color{purple}{0<a<1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est croissante\red{\text{croissante}} sur R\mathbb{R} .
  • Si k<0{\color{blue}{k<0}} et a>1{\color{purple}{a>1}} alors f(x)=kax f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .
    • Soit i(x)=0,2×(0,8)xi\left(x\right)={\color{blue}0,2}\times \left(0,8\right)^{x} où 0<a=0,8<1{\color{purple}{0<a=0,8<1}} et k=0,2>0{\color{blue}{k=0,2>0}}.
    Il en résulte donc que i(x)=0,2×(0,8)xi\left(x\right)=0,2\times \left(0,8\right)^{x} est deˊcroissante\red{\text{décroissante}} sur R\mathbb{R} .