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Fonctions exponentielles de base $a$
Etudier le sens de variation d'une fonction de la forme
x
↦
k
a
x
x\mapsto ka^{x}
x
↦
k
a
x
- Exercice 1
4 min
10
Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :
Question 1
f
(
x
)
=
4
×
3
x
f\left(x\right)=4\times 3^{x}
f
(
x
)
=
4
×
3
x
Correction
Soient
k
{\color{blue}{k}}
k
un réel et
a
{\color{purple}{a}}
a
un réel strictement positif .
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Soit
f
(
x
)
=
4
×
3
x
f\left(x\right)={\color{blue}{4}}\times {\color{purple}{3}}^{x}
f
(
x
)
=
4
×
3
x
où
a
=
3
>
1
{\color{purple}{a=3>1}}
a
=
3
>
1
et
4
>
0
{\color{blue}{4>0}}
4
>
0
.
Il en résulte donc que
f
(
x
)
=
4
×
3
x
f\left(x\right)=4\times 3^{x}
f
(
x
)
=
4
×
3
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 2
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
g\left(x\right)=-5\times \left(0,4\right)^{x}
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
Correction
Soient
k
{\color{blue}{k}}
k
un réel et
a
{\color{purple}{a}}
a
un réel strictement positif .
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Soit
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
g\left(x\right)={\color{blue}-5}\times \left(0,4\right)^{x}
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
où
0
<
a
=
0
,
4
<
1
{\color{purple}{0<a=0,4<1}}
0
<
a
=
0
,
4
<
1
et
k
=
−
5
<
0
{\color{blue}{k=-5<0}}
k
=
−
5
<
0
.
Il en résulte donc que
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
g\left(x\right)=-5\times \left(0,4\right)^{x}
g
(
x
)
=
−
5
×
(
0
,
4
)
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 3
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
h\left(x\right)=-9\times \left(1,2\right)^{x}
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
Correction
Soient
k
{\color{blue}{k}}
k
un réel et
a
{\color{purple}{a}}
a
un réel strictement positif .
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Soit
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
h\left(x\right)={\color{blue}-9}\times \left(1,2\right)^{x}
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
où
a
=
1
,
2
>
1
{\color{purple}{a=1,2>1}}
a
=
1
,
2
>
1
et
k
=
−
9
<
0
{\color{blue}{k=-9<0}}
k
=
−
9
<
0
.
Il en résulte donc que
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
h\left(x\right)=-9\times \left(1,2\right)^{x}
h
(
x
)
=
−
9
×
(
1
,
2
)
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Question 4
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
i\left(x\right)=0,2\times \left(0,8\right)^{x}
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
Correction
Soient
k
{\color{blue}{k}}
k
un réel et
a
{\color{purple}{a}}
a
un réel strictement positif .
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
>
0
{\color{blue}{k>0}}
k
>
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
0
<
a
<
1
{\color{purple}{0<a<1}}
0
<
a
<
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
croissante
\red{\text{croissante}}
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Si
k
<
0
{\color{blue}{k<0}}
k
<
0
et
a
>
1
{\color{purple}{a>1}}
a
>
1
alors
f
(
x
)
=
k
a
x
f\left(x\right)={\color{blue}{k}}{\color{purple}{a}}^{x}
f
(
x
)
=
k
a
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.
Soit
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
i\left(x\right)={\color{blue}0,2}\times \left(0,8\right)^{x}
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
où
0
<
a
=
0
,
8
<
1
{\color{purple}{0<a=0,8<1}}
0
<
a
=
0
,
8
<
1
et
k
=
0
,
2
>
0
{\color{blue}{k=0,2>0}}
k
=
0
,
2
>
0
.
Il en résulte donc que
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
i\left(x\right)=0,2\times \left(0,8\right)^{x}
i
(
x
)
=
0
,
2
×
(
0
,
8
)
x
est
d
e
ˊ
croissante
\red{\text{décroissante}}
d
e
ˊ
croissante
sur
R
\mathbb{R}
R
.