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STD2A
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Fonction logarithme décimal
Résoudre une équation de la forme
x
a
=
b
x^{a}=b
x
a
=
b
- Exercice 1
15 min
25
Question 1
Résoudre dans
]
0
;
+
∞
[
\left]0;+\infty\right[
]
0
;
+
∞
[
les équations suivantes :
x
0
,
5
=
1024
x^{0,5} =1024
x
0
,
5
=
1024
Correction
x
0
,
5
=
1024
x^{0,5} =1024
x
0
,
5
=
1024
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
x
0
,
5
)
=
log
(
1024
)
\log \left(x^{0,5} \right)=\log \left(1024\right)
lo
g
(
x
0
,
5
)
=
lo
g
(
1024
)
log
(
x
0
,
5
)
=
log
(
2
11
)
\log \left(x^{0,5} \right)=\log \left(2^{11} \right)
lo
g
(
x
0
,
5
)
=
lo
g
(
2
11
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
0.5
log
(
x
)
=
11
log
(
2
)
0.5\log \left(x\right)=11\log \left(2\right)
0.5
lo
g
(
x
)
=
11
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
11
0.5
log
(
2
)
\log \left(x\right)=\frac{11}{0.5} \log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
0.5
11
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
11
0.5
log
(
2
)
\log \left(x\right)=\frac{11}{0.5} \log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
0.5
11
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
22
log
(
2
)
\log \left(x\right)=22\log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
22
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
log
(
2
22
)
\log \left(x\right)=\log \left(2^{22} \right)
lo
g
(
x
)
=
lo
g
(
2
22
)
Ainsi :
x
=
2
22
x=2^{22}
x
=
2
22
Question 2
x
0
,
2
=
256
x^{0,2} =256
x
0
,
2
=
256
Correction
x
0
,
2
=
256
x^{0,2} =256
x
0
,
2
=
256
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
x
0
,
2
)
=
log
(
256
)
\log \left(x^{0,2} \right)=\log \left(256\right)
lo
g
(
x
0
,
2
)
=
lo
g
(
256
)
log
(
x
0
,
2
)
=
log
(
2
8
)
\log \left(x^{0,2} \right)=\log \left(2^{8} \right)
lo
g
(
x
0
,
2
)
=
lo
g
(
2
8
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
0.2
log
(
x
)
=
8
log
(
2
)
0.2\log \left(x\right)=8\log \left(2\right)
0.2
lo
g
(
x
)
=
8
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
8
0.2
log
(
2
)
\log \left(x\right)=\frac{8}{0.2} \log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
0.2
8
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
8
0.2
log
(
2
)
\log \left(x\right)=\frac{8}{0.2} \log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
0.2
8
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
40
log
(
2
)
\log \left(x\right)=40\log \left(2\right)
lo
g
(
x
)
=
40
lo
g
(
2
)
log
(
x
)
=
log
(
2
40
)
\log \left(x\right)=\log \left(2^{40} \right)
lo
g
(
x
)
=
lo
g
(
2
40
)
Ainsi :
x
=
2
40
x=2^{40}
x
=
2
40
Question 3
x
2
,
25
=
20
x^{2,25} =20
x
2
,
25
=
20
Correction
x
2
,
25
=
20
x^{2,25} =20
x
2
,
25
=
20
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
x
2
,
25
)
=
log
(
20
)
\log \left(x^{2,25} \right)=\log \left(20\right)
lo
g
(
x
2
,
25
)
=
lo
g
(
20
)
2
,
25
log
(
x
)
=
log
(
20
)
2,25\log \left(x\right)=\log \left(20\right)
2
,
25
lo
g
(
x
)
=
lo
g
(
20
)
log
(
x
)
=
log
(
20
)
2
,
25
\log \left(x\right)=\frac{\log \left(20\right)}{2,25}
lo
g
(
x
)
=
2
,
25
lo
g
(
20
)
log
(
x
)
=
log
(
20
)
2
,
25
\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} }
lo
g
(
x
)
=
2
,
25
l
o
g
(
20
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
A
A
A
un réel. On a alors :
log
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
lo
g
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
x
=
1
0
log
(
20
)
2
,
25
\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} }}
x
=
1
0
2
,
25
l
o
g
(
20
)
Or :
1
0
log
(
20
)
2
,
25
≈
3
,
79
10^{\frac{\log \left(20\right)}{2,25} } \approx 3,79
1
0
2
,
25
l
o
g
(
20
)
≈
3
,
79
Ainsi :
x
≈
3
,
79
x\approx 3,79
x
≈
3
,
79
Question 4
x
5
,
3
=
857
x^{5,3} =857
x
5
,
3
=
857
Correction
x
5
,
3
=
857
x^{5,3} =857
x
5
,
3
=
857
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
x
5
,
3
)
=
log
(
857
)
\log \left(x^{5,3} \right)=\log \left(857\right)
lo
g
(
x
5
,
3
)
=
lo
g
(
857
)
5
,
3
log
(
x
)
=
log
(
857
)
5,3\log \left(x\right)=\log \left(857\right)
5
,
3
lo
g
(
x
)
=
lo
g
(
857
)
log
(
x
)
=
log
(
857
)
5
,
3
\log \left(x\right)=\frac{\log \left(857\right)}{5,3}
lo
g
(
x
)
=
5
,
3
lo
g
(
857
)
log
(
x
)
=
log
(
857
)
5
,
3
\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} }
lo
g
(
x
)
=
5
,
3
l
o
g
(
857
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
A
A
A
un réel. On a alors :
log
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
lo
g
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
x
=
1
0
log
(
857
)
5
,
3
\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} }}
x
=
1
0
5
,
3
l
o
g
(
857
)
Or :
1
0
log
(
857
)
5
,
3
≈
3
,
57
10^{\frac{\log \left(857\right)}{5,3} } \approx 3,57
1
0
5
,
3
l
o
g
(
857
)
≈
3
,
57
Ainsi :
x
≈
3
,
57
x\approx 3,57
x
≈
3
,
57
Question 5
2
x
3
,
8
−
5
=
479
2x^{3,8}-5 =479
2
x
3
,
8
−
5
=
479
Correction
2
x
3
,
8
−
5
=
479
2x^{3,8}-5 =479
2
x
3
,
8
−
5
=
479
2
x
3
,
8
=
484
2x^{3,8}=484
2
x
3
,
8
=
484
x
3
,
8
=
484
2
x^{3,8}=\frac{484}{2}
x
3
,
8
=
2
484
x
3
,
8
=
242
x^{3,8}=242
x
3
,
8
=
242
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
x
3
,
8
)
=
log
(
242
)
\log \left(x^{3,8} \right)=\log \left(242\right)
lo
g
(
x
3
,
8
)
=
lo
g
(
242
)
3
,
8
log
(
x
)
=
log
(
242
)
3,8\log \left(x\right)=\log \left(242\right)
3
,
8
lo
g
(
x
)
=
lo
g
(
242
)
log
(
x
)
=
log
(
242
)
3
,
8
\log \left(x\right)=\frac{\log \left(242\right)}{3,8}
lo
g
(
x
)
=
3
,
8
lo
g
(
242
)
log
(
x
)
=
log
(
242
)
3
,
8
\log \left(\red{x}\right)=\blue{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} }
lo
g
(
x
)
=
3
,
8
l
o
g
(
242
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
A
A
A
un réel. On a alors :
log
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
\log \left(\red{x}\right)=\blue{A}\Leftrightarrow \red{x}=10^{\blue{A}}
lo
g
(
x
)
=
A
⇔
x
=
1
0
A
x
=
1
0
log
(
242
)
3
,
8
\red{x}=10^{\blue{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} }}
x
=
1
0
3
,
8
l
o
g
(
242
)
Or :
1
0
log
(
242
)
3
,
8
≈
4
,
23
10^{\frac{\log \left(242\right)}{3,8} } \approx 4,23
1
0
3
,
8
l
o
g
(
242
)
≈
4
,
23
Ainsi :
x
≈
4
,
23
x\approx 4,23
x
≈
4
,
23