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Inéquations - Exercice 2

10 min
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Question 1

x−12+7x3≤7\frac{x-1}{2} +\frac{7x}{3} \le 7

Correction
x−12+7x3≤7\frac{x-1}{2} +\frac{7x}{3} \le 7
x−12+7x3≤71\frac{x-1}{2} +\frac{7x}{3} \le \frac{7}{1} . Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera 66
3×(x−1)3×2+7x×23×2≤7×61×6\frac{3\times \left(x-1\right)}{3\times 2} +\frac{7x\times 2}{3\times 2} \le \frac{7\times 6}{1\times 6}
3x−36+14x6≤426\frac{3x-3}{6} +\frac{14x}{6} \le \frac{42}{6}
  • Si cc est un réel positif alors ac+bc≤dc⇔a+b≤d\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \le \frac{d}{c} \Leftrightarrow a+b\le d .
  • Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .
3x−3+14x≤423x-3+14x\le 42 . Nous avons donc enlever les dénominateurs qui valaient tous 66 car 66 est positif.
17x−3≤4217x-3\le 42
17x≤42+317x\le 42+3
17x≤4517x\le 45
x≤4517x\le \frac{45}{17}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;4517]S=\left]-\infty ;\frac{45}{17} \right]

Question 2

(6x−3)(x+2)<3x(2x−7)\left(6x-3\right)\left(x+2\right)<3x\left(2x-7\right)

Correction
(6x−3)(x+2)<3x(2x−7)\left(6x-3\right)\left(x+2\right)<3x\left(2x-7\right)
6x×x+6x×2+(−3)×x+(−3)×2<3x×2x+3x×(−7)6x\times x+6x\times 2+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2<3x\times 2x+3x\times \left(-7\right)
6x2+12x−3x−6<6x2−21x6x^{2} +12x-3x-6<6x^{2} -21x
6x2+12x−3x−6−6x2+21x<06x^{2} +12x-3x-6-6x^{2} +21x<0
30x−6<030x-6<0
30x<630x<6
x<630x<\frac{6}{30}
x<1×65×6x<\frac{1\times \color{red}6}{5\times \color{red}6}
x<1×65×6x<\frac{1\times \cancel{ \color{red}6}}{5\times \cancel{ \color{red}6}}
x<15x<\frac{1}{5}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;15[S=\left]-\infty ;\frac{1}{5}\right[
Question 3

x+42≤x−26\frac{x+4}{2}\le {\frac{x-2}{6}}

Correction
x+42≤x−26\frac{x+4}{2}\le {\frac{x-2}{6}} Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera 66
3(x+4)2×3≤x−26\frac{3(x+4)}{2\times3}\le {\frac{x-2}{6}}
3x+126≤x−26\frac{3x+12}{6}\le {\frac{x-2}{6}}
  • Si cc est un réel positif alors ac≤bc⇔a≤b\frac{a}{c} \le \frac{b}{c} \Leftrightarrow a\le b .
  • Autrement dit, si dans une inéquation, tous les dénominateurs sont identiques et positifs alors on peut les "enlever" .

3x+12≤x−23x+12\le x-2
3x−x≤−2−123x-x\le-2-12
2x≤−142x\le-14
x≤−7x\le -7
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=]−∞;−7]S=\left]-\infty ;-7\right]
Question 4

(x−1)(x+5)≥−3(x+5)−2+x2(x-1)(x+5)\ge -3(x+5)-2+x^2

Correction
(x−1)(x+5)≥−3(x+5)−2+x2(x-1)(x+5)\ge -3(x+5)-2+x^2 équivaut successivement à :
x2+5x−x−5≥−3x−15−2+x2x^2+5x-x-5\ge -3x-15-2+x^2
x2+4x−5≥x2−3x−17x^2+4x-5\ge x^2-3x-17
x2+4x−5−x2+3x+17≥0x^2+4x-5-x^2+3x+17\ge0
7x+12≥07x+12\ge0
7x≥−127x\ge-12
x≥−127x\ge -\frac{12}{7}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :
S=[−127;+∞[S=\left[-\frac{12}{7};+\infty \right[

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