Inéquations - Exercice 2

$$\frac{x-1}{2} +\frac{7x}{3} \le 7$$
$$\frac{x-1}{2} +\frac{7x}{3} \le \frac{7}{1}$$ . Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera $$6$$
$$\frac{3\times \left(x-1\right)}{3\times 2} +\frac{7x\times 2}{3\times 2} \le \frac{7\times 6}{1\times 6}$$
$$\frac{3x-3}{6} +\frac{14x}{6} \le \frac{42}{6}$$
$$3x-3+14x\le 42$$ . Nous avons donc enlever les dénominateurs qui valaient tous $$6$$ car $$6$$ est positif.
$$17x-3\le 42$$
$$17x\le 42+3$$
$$17x\le 45$$
$$x\le \frac{45}{17}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$\left(6x-3\right)\left(x+2\right)<3x\left(2x-7\right)$$
$$6x\times x+6x\times 2+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2<3x\times 2x+3x\times \left(-7\right)$$
$$6x^{2} +12x-3x-6<6x^{2} -21x$$
$$6x^{2} +12x-3x-6-6x^{2} +21x<0$$
$$30x-6<0$$
$$30x<6$$
$$x<\frac{6}{30}$$
$$x<\frac{1\times \color{red}6}{5\times \color{red}6}$$
$$x<\frac{1\times \cancel{ \color{red}6}}{5\times \cancel{ \color{red}6}}$$
$$x<\frac{1}{5}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$\frac{x+4}{2}\le {\frac{x-2}{6}}$$ Il est impératif ici de mettre tout au même dénominateur. Ici le dénominateur commun sera $$6$$
$$\frac{3(x+4)}{2\times3}\le {\frac{x-2}{6}}$$
$$\frac{3x+12}{6}\le {\frac{x-2}{6}}$$

$$3x+12\le x-2$$
$$3x-x\le-2-12$$
$$2x\le-14$$
$$x\le -7$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :

$$(x-1)(x+5)\ge -3(x+5)-2+x^2$$ équivaut successivement à :
$$x^2+5x-x-5\ge -3x-15-2+x^2$$
$$x^2+4x-5\ge x^2-3x-17$$
$$x^2+4x-5-x^2+3x+17\ge0$$
$$7x+12\ge0$$
$$7x\ge-12$$
$$x\ge -\frac{12}{7}$$
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc :