Fonctions affines - Exercice 2

$$f$$ est une fonction affine d’où pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{f\left(2 \right)-f\left(8 \right)}{2-8 }$$
$$a=\frac{-6-18}{2-8 }$$
$$a=\frac{-24}{-6 }$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=4x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que $$f\left(8\right)=18$$ et comme $$f\left(x\right)=4x+b$$, il en résulte donc que :
$$4\times8+b=18$$ équivaut successivement à :
$$32+b=18$$
$$b=18-32$$

Finalement, $$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=4x-14$$.
Ici, le coefficient directeur vaut $$a=4>0$$. Il en résulte donc que la fonction $$x\mapsto 4x-14$$ est une fonction croissante.

$$f$$ est une fonction affine d’où pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{f\left(1 \right)-f\left(2 \right)}{1-2 }$$
$$a=\frac{4-\left(-1\right)}{1-2 }$$
$$a=\frac{5}{-1 }$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=-5x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que $$f\left(1\right)=4$$ et comme $$f\left(x\right)=-5x+b$$, il en résulte donc que :
$$-5\times1+b=4$$ équivaut successivement à :
$$-5+b=4$$
$$b=4+5$$

Finalement, $$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=-5x+9$$.
Ici, le coefficient directeur vaut $$a=-5<0$$. Il en résulte donc que la fonction $$x\mapsto -5x+9$$ est une fonction décroissante.

La droite $$\left(AB\right)$$ d'équation $$y=ax+b$$ représente la fonction affine définie par, pour tout réel $$x$$, $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
$$a=\frac{12-9}{7-4 }$$
$$a=\frac{3}{3}$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que le point $$A\left(4;9\right)$$ appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que $$f\left(x_{A}\right)=x_{A}+b$$ ou encore $$y_{A}=x_{A}+b$$.
Il vient alors que :
$$9=4+b$$ équivaut successivement à :
$$4+b=9$$
$$b=9-4$$

Finalement, l'expression de la droite $$\left(AB\right)$$ est :