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Calcul de puissances - Exercice 2

1 min
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Question 1
Ecrire les nombres suivants sous la forme d'une seule puissance

A=32×35×92A=3^2\times{3^5}\times{9^2}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
A=32×35×92A=3^2\times{3^5}\times{9^2} équivaut successivement à :
A=32×35×(32)2A=3^2\times{3^5}\times{(3^2)^2} Avec ici 9=329=3^2
A=32×35×34A=3^2\times{3^5}\times{3^4}
A=32+5+4A=3^{2+5+4}
A=311A=3^{11}
Question 2

B=52×252×153B=5^2\times25^2\times{\frac{1}{5^3}}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
B=52×252×153B=5^2\times25^2\times{\frac{1}{5^3}} équivaut successivement à :
B=52×(52)2×5−3B=5^2\times{({5^2})^2}\times{5^{-3}} Avec 25=5225=5^2
B=52×54×5−3B=5^2\times5^4\times{5^{-3}}
B=52+4+−3B=5^{2+4+-3}
B=52+4−3B=5^{2+4-3}
B=53B=5^{3}

Question 3

C=0,001×102×0,110−5×102C=\frac{0,001\times10^2\times0,1}{10^{-5}\times{10^2}}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
C=0,001×102×0,110−5×102C=\frac{0,001\times10^2\times0,1}{10^{-5}\times{10^2}} équivaut successivement à :
C=10−3×102×10−110−5×102C=\frac{10^{-3}\times10^2\times{10^{-1}}}{10^{-5}\times{10^2}} avec 0,001=10−3    et    0,1=10−10,001=10^{-3}\;\;et\;\;0,1=10^{-1}
C=10−3+2+−110−5+2C=\frac{10^{-3+2+-1}}{10^{-5+2}}
C=10−210−3C=\frac{10^{-2}}{10^{-3}}
C=10−2−(−3)C=10^{-2-(-3)}
C=10−2+3C=10^{-2+3}
C=101=10C=10^{1}=10

Question 4

D=25×44×16532−5×2−2D=\frac{2^5\times4^4\times16^5}{32^{-5}\times2^{-2}}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
D=25×44×16532−5×2−2D=\frac{2^5\times4^4\times16^5}{32^{-5}\times2^{-2}}équivaut successivement à :
D=25×(22)4×(24)5(25)−5×2−2D=\frac{2^5\times{(2^2)}^4\times{(2^4)}^5}{{(2^5)}^{-5}\times2^{-2}} Avec 4=22  ,  16=24  et  32=254=2^2\;,\;16=2^4\;et\;32=2^5
D=25×28×2202−25×2−2D=\frac{2^5\times{2}^8\times{2^{20}}}{{2}^{-25}\times2^{-2}}
D=25+8+202−25+−2D=\frac{2^{5+8+20}}{2^{-25+-2}}
D=2332−27D=\frac{2^{33}}{2^{-27}}
D=233−(−27)D=2^{33-(-27)}
D=233+27D=2^{33+27}
D=260D=2^{60}

Question 5

E=74×32×72×3−5×7−9E=7^4\times3^2\times7^2\times3^{-5}\times7^{-9}

Correction
  • 10a×10b=10a+b10^{a} \times 10^{b} =10^{a+b}
  • 10a10b=10a−b\frac{10^{a} }{10^{b} } =10^{a-b}
  • (10a)b=10a×b\left(10^{a} \right)^{b} =10^{a\times b}
  • 10−a=110a10^{-a} =\frac{1}{10^{a} }
E=74×32×72×3−5×7−9E=7^4\times3^2\times7^2\times3^{-5}\times7^{-9}équivaut successivement à :
E=74×72×7−9×32×3−5E=7^4\times7^2\times7^{-9}\times{3^2}\times3^{-5}
E=74+2+−9×32+−5E=7^{4+2+-9}\times{3^{2+-5}}
E=7−3×3−3E=7^{-3}\times3^{-3}
Or  ac×bc=(a×b)c\color{red}\Large\boxed{Or\;a^c\times{b^c}=(a\times{b})^c} donc :
E=(7×3)−3E=(7\times3)^{-3}
E=21−3E=21^{-3}