Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 5

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x+3$$ et $$v\left(x\right)=x+4$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(x+4\right)-\left(2x+3\right)\times 1}{\left(x+4\right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{2x+8-2x-3}{\left(x+4\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{5}{\left(x+4\right)^{2} }$$

Pour tout réel, le numérateur $$5$$ est strictement positif ainsi que le dénominateur $$\left(x+4\right)^{2}$$est strictement positif.
Il en résulte que : $$f'\left(x\right)>0$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

$$v_{n} =\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{u_{n+1} -1}{u_{n+1} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4} -1}{\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3-\left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4} }{\frac{2u_{n} +3+3\times \left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4} }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3-u_{n} -4}{u_{n} +4} }{\frac{2u_{n} +3+3u_{n} +12}{u_{n} +4} }$$

$$v_{n+1} =\frac{2u_{n} +3-u_{n} -4}{2u_{n} +3+3u_{n} +12}$$
$$v_{n+1} =\frac{u_{n} -1}{5u_{n} +15}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{5} \left(\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3} \right)$$ .
Autrement dit : $$v_{n+1} =\frac{1}{5} v_{n}$$
$$v_{n}$$ est une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{5}$$ et de premier terme $$v_{0} =\frac{u_{0} -1}{u_{0} +3} =-\frac{1}{3}$$

L'expression de $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ s'écrit : $$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$$
Ainsi : $$v_{n} =\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3}$$
Ainsi : $$v_{n} \times \left(u_{n} +3\right)=u_{n} -1$$
$$v_{n} \times u_{n} +3\times v_{n} =u_{n} -1$$
$$v_{n} \times u_{n} -u_{n} =-3\times v_{n} -1$$
$$u_{n} \times \left(v_{n} -1\right)=-3\times v_{n} -1$$
$$u_{n} =\frac{-3v_{n} -1}{v_{n} -1}$$

Comme $$u_{n} =\frac{-3v_{n} -1}{v_{n} -1}$$ et $$v_{n} =\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$, il en résulte que :
$$u_{n} =\frac{-3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1}{\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1}$$

Comme $$-1\le \frac{1}{5} \le 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ ainsi $$\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1=-1$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ ainsi $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1=-1$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1}{\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1} =1$$
Finalement :