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Exercices types : 22ème partie - Exercice 4

15 min
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Pour chacune des cinq questions suivantes, une et une seule des propositions est correcte.
Question 1

Soit la suite (un)(u_{n} ) définie par u0=5u_{0} =5, u1=7u_{1} =7, et pour tout entier naturel nn, un+2=3un+1−2unu_{n+2} =3u_{n+1} -2u_{n} .
  • u3=−2u_{3} =-2
  • u3=19u_{3} =19
  • u3=23u_{3} =23

Correction
Commençons par calculer u2u_{2} , ce qui nous donne :
  u2=3u1−2u0\; u_{2} =3u_{1} -2u_{0} ainsi   u2=3×7−2×5\; u_{2} =3\times 7-2\times 5 donc   u2=11\; u_{2} =11
Maintenant calculons u3u_{3} :
  u3=3u2−2u1\; u_{3} =3u_{2} -2u_{1} ainsi   u3=3×11−2×7\; u_{3} =3\times 11-2\times 7 donc   u3=19\; u_{3} =19
C'est la réponse b.
Question 2

La suite (un)(u_{n} ) est définie pour tout entier naturel nn par un=5n2−3n+2u_{n} =5n^{2} -3n+2
  • La suite (un)(u_{n} ) converge vers 2.
  • La suite (un)(u_{n} ) n'a pas de limite.
  • La suite (un)(u_{n} ) diverge vers +∞+\infty

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞5n2−3n+2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par le monôme de plus haut degré donc ici n2n^{2} .
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞5n2−3n+2=lim⁡n→+∞n2(5n2−3n+2n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{5n^{2} -3n+2}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞5n2−3n+2=lim⁡n→+∞n2(5n2n2−3nn2+2n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(\frac{5n^{2} }{n^{2} } -\frac{3n}{n^{2} } +\frac{2}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞5n2−3n+2=lim⁡n→+∞n2(5−3n+2n2)\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞5−3n+2n2=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } } & {=} & {5} \end{array}\right\} par produit lim⁡n→+∞n2(5−3n+2n2)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(5-\frac{3}{n} +\frac{2}{n^{2} } \right)=+\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞5n2−3n+2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 5n^{2} -3n+2=+\infty

C'est la réponse c.
Question 3

La suite (un)(u_{n} ) définie par u0=2u_{0} = 2 et pour tout entier naturel nn par un+1−un=−0,1unu_{n+1} -u_{n} =-0,1u_{n}
  • La suite (un)(u_{n} ) est arithmétique.
  • La suite (un)(u_{n} ) n'est ni arithmétique ni géométrique.
  • La suite (un)(u_{n} ) géométrique.

Correction
On a : un+1−un=−0,1unu_{n+1} -u_{n} =-0,1u_{n} , ce qui donne un+1=−0,1un+unu_{n+1} =-0,1u_{n} +u_{n} ainsi un+1=0,9unu_{n+1} =0,9u_{n}
C'est la réponse c.
Question 4

Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2%2\% par semaine depuis sa parution.
Au cours de la première semaine il s'en était vendu 1000010000 exemplaires.

Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 4545 semaines écoulées depuis sa parution est :
  • 2390023 900
  • 718927718 927
  • 743326743 326

Correction
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=1,02q=1,02 et de 1er terme 10000.
Sn=(1er terme)×(1−(raison)nombres de termes)1−raisonS_{n} ={\text{(1er terme)}}\times \frac{\left(1-\left({\text{raison}}\right)^{{\text{nombres de termes}}} \right)}{1-{\text{raison}}}
On note SnS_{n} le nombre d'exemplaires au cours des 45 semaines.
Sn=(10000)×(1−(1,02)45)1−1,02S_{n} =\left(10000\right)\times \frac{\left(1-\left(1,02\right)^{45} \right)}{1-1,02}
Sn≈718927S_{n} \approx 718927
C'est la réponse b.