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Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

25 min
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Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 12401240 renards à la fin de l’année 20162016. On modélise par unu_{n} le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l’année 2016+n2016+n. On a donc u0=1240u_{0}=1240. On estime à 1515% par an la baisse du nombre unu_{n}. On suppose que cette évolution restera identique pour les années avenir. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.
Question 1

Partie A
Montrer qu’à la fin de l’année 20172017 , la population de renards sera de 10541054.

Correction
Pour avoir la population à la fin de l’année 20172017 on retire 1515% à l’effectif de 20162016. Retirer 1515%, c’est multiplier par le coefficient multiplicateur 1−15100=0,851-\frac{15}{100}=0,85 donc 1240×0,85=10541240\times 0,85=1054.
À la fin de l’année 20172017, la population de renards sera de
10541054
.
Question 2

En déduire la nature de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
L'évolution de la population de renards est une baisse annuelle de 15%15\% . On multiplie donc chaque année la population par le coefficient multiplicateur q=1−15100=0,85q=1-\frac{15}{100}=0,85 .
Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 0,850,85.
Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=0,85q=0,85 et de premier terme u0=1240u_{0}=1240 .
Question 3

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    un+1=un×0,85u_{n+1} =u_{n}\times0,85
    Finalement :
    un+1=0,85unu_{n+1} =0,85u_{n}

    Question 4

    Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l’année 20202020.

    Correction
    La fin de l’année 20202020 correspond à n=4n=4. Comme un+1=0,85×unu_{n+1} =0,85\times u_{n}, on a alors :
    u1=0,85×u0u_{1} =0,85\times u_{0} donc u1=0,85×1240=1054u_{1} =0,85\times 1240=1054
    u2=0,85×u1u_{2} =0,85\times u_{1} donc u2≈896u_{2}\approx896
    u3=0,85×u2u_{3} =0,85\times u_{2} donc u3≈762u_{3}\approx762
    u4=0,85×u3u_{4} =0,85\times u_{3} donc u4≈648u_{4}\approx648
    On peut estimer à 648648 la population de renards fin 20202020.
    Question 5
    Partie B
    Afin de préserver l’espèce, on décide d’introduire à chaque année 3030 renards à partir de la fin de l’année 20172017. On note vnv_{n} le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l’année 2016+n2016+n. On estime à 1515% par an la baisse du nombre vnv_{n}. On a v0=1240v_{0}=1240.

    Calculer v1v_{1}

    Correction
    Il vient que : v1=0,85×1240+30v_{1}=0,85\times 1240 +30 ainsi v1=1084v_{1}=1084.
    Question 6
    On admet que pour tout entier naturel nn, on a : vn=200+1040×(0,85)nv_{n} =200+1040\times \left(0,85\right)^{n}

    Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l’année 20202020. Donner un arrondi à l'entier.

    Correction
    La fin de l’année 20202020 correspond à n=4n=4. Comme vn=200+1040×(0,85)nv_{n} =200+1040\times \left(0,85\right)^{n} on a alors :
    v4=200+1040×(0,85)4v_{4} =200+1040\times \left(0,85\right)^{4}
    Ainsi :
    v4=743v_{4} =743
    arrondi à l'entier.