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Suites
Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique - Exercice 2
6 min
15
Question 1
Soit une suite arithmétique
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
de raison
r
=
7
r=7
r
=
7
et de
u
1
=
−
15
u_{1} =-15
u
1
=
−
15
.
Donner l'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
.
Correction
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n} \right)
(
u
n
)
une suite arithmétique. L'expression de
u
n
u_{n}
u
n
en fonction de
n
n
n
est :
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
u_{n} =u_{1} +\left(n-1\right)\times r
u
n
=
u
1
+
(
n
−
1
)
×
r
.
Dans notre cas, le premier terme ici vaut
u
1
=
−
15
u_{1} =-15
u
1
=
−
15
et
r
=
7
r=7
r
=
7
.
Il en résulte donc que :
u
n
=
−
15
+
(
n
−
1
)
×
7
u_{n} =-15 +\left(n-1\right)\times 7
u
n
=
−
15
+
(
n
−
1
)
×
7
u
n
=
−
15
+
7
n
−
7
u_{n} =-15 +7n-7
u
n
=
−
15
+
7
n
−
7
Autrement dit :
u
n
=
7
n
−
22
u_{n} =7n-22
u
n
=
7
n
−
22
Question 2
Calculer
u
15
u_{15}
u
15
.
Correction
D'après la question
1
1
1
, nous savons que
u
n
=
7
n
−
22
u_{n} =7n-22
u
n
=
7
n
−
22
.
Il vient alors que :
u
15
=
7
×
15
−
22
u_{15} =7\times15-22
u
15
=
7
×
15
−
22
u
15
=
105
−
22
=
83
u_{15} =105-22=83
u
15
=
105
−
22
=
83
u
15
=
83
u_{15} =83
u
15
=
83
Question 3
Calculer :
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
. Nous pouvons également écrire
S
=
∑
k
=
1
15
u
k
S=\sum _{k=1}^{15}u_{k}
S
=
k
=
1
∑
15
u
k
.
Correction
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
nombres de termes
)
×
(
premier terme
+
dernier terme
2
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
nombres de termes
)
×
(
2
premier terme
+
dernier terme
)
Nous voulons calculer
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
Il y a en tout
15
\red{15}
15
termes en partant de
u
1
u_{1}
u
1
à
u
15
u_{15}
u
15
.
On applique la formule :
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
=
(
nombres de termes
)
×
(
premier terme
+
dernier terme
2
)
S=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{15}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S
=
u
1
+
u
2
+
…
+
u
15
=
(
nombres de termes
)
×
(
2
premier terme
+
dernier terme
)
S
=
15
×
(
u
1
+
u
15
2
)
S=15\times \left(\frac{u_{1} +u_{15} }{2} \right)
S
=
15
×
(
2
u
1
+
u
15
)
S
=
15
×
(
−
15
+
83
2
)
S=15\times \left(\frac{-15+83}{2} \right)
S
=
15
×
(
2
−
15
+
83
)
S
=
15
×
(
68
2
)
S=15\times \left(\frac{68}{2} \right)
S
=
15
×
(
2
68
)
S
=
15
×
34
S=15\times 34
S
=
15
×
34
Ainsi :
S
=
510
S=510
S
=
510