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Probabilités conditionnelles
Pour bien appréhender les probabilités conditionnelles - Exercice 3
12 min
25
L'arbre pondéré ci-dessous représente une situation de probabilité.
Question 1
Donner la valeur des probabilités
P
(
B
)
P \left(B\right)
P
(
B
)
;
P
B
(
E
)
P_{B} \left(E\right)
P
B
(
E
)
et
P
A
(
E
‾
)
P_{A} \left(\overline{E}\right)
P
A
(
E
)
Correction
D'après l'arbre ci-dessus, nous pouvons lire que :
P
(
B
)
=
0
,
15
P \left(B\right)=0,15
P
(
B
)
=
0
,
15
P
B
(
E
)
=
0
,
1
P_{B} \left(E\right)=0,1
P
B
(
E
)
=
0
,
1
P
A
(
E
‾
)
=
0
,
45
P_{A} \left(\overline{E}\right)=0,45
P
A
(
E
)
=
0
,
45
Question 2
A l'aide de l'arbre, calculer
P
(
A
∩
E
‾
)
P\left(A\cap \overline{E}\right)
P
(
A
∩
E
)
.
Correction
L'évènement
A
∩
E
‾
A\cap \overline{E}
A
∩
E
correspond à l'évènement
A
A
A
et
{\color{blue}{\text{et}}}
et
à l’événement
E
‾
\overline{E}
E
.
P
(
A
∩
E
‾
)
=
P
(
A
)
×
P
A
(
E
‾
)
P\left(A\cap \overline{E}\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(\overline{E}\right)
P
(
A
∩
E
)
=
P
(
A
)
×
P
A
(
E
)
P
(
A
∩
E
‾
)
=
0
,
85
×
0
,
45
P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,85\times 0,45
P
(
A
∩
E
)
=
0
,
85
×
0
,
45
P
(
A
∩
E
‾
)
=
0
,
3825
P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,3825
P
(
A
∩
E
)
=
0
,
3825
Question 3
A l'aide de l'arbre, calculer
P
(
B
∩
E
‾
)
P\left(B\cap \overline{E}\right)
P
(
B
∩
E
)
.
Correction
L'évènement
B
∩
E
‾
B\cap \overline{E}
B
∩
E
correspond à l'évènement
B
B
B
et
{\color{blue}{\text{et}}}
et
à l’événement
E
‾
\overline{E}
E
.
P
(
B
∩
E
‾
)
=
P
(
B
)
×
P
B
(
E
‾
)
P\left(B\cap \overline{E}\right)=P\left(B\right)\times P_{B} \left(\overline{E}\right)
P
(
B
∩
E
)
=
P
(
B
)
×
P
B
(
E
)
P
(
B
∩
E
‾
)
=
0
,
15
×
0
,
9
P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,15\times 0,9
P
(
B
∩
E
)
=
0
,
15
×
0
,
9
P
(
B
∩
E
‾
)
=
0
,
135
P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,135
P
(
B
∩
E
)
=
0
,
135
Question 4
En déduire
P
(
E
‾
)
P\left(\overline{E}\right)
P
(
E
)
Correction
A
A
A
et
B
B
B
forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
P
(
E
‾
)
=
P
(
A
∩
E
‾
)
+
P
(
B
∩
E
‾
)
P\left(\overline{E}\right)=P\left(A\cap \overline{E}\right)+P\left(B\cap \overline{E}\right)
P
(
E
)
=
P
(
A
∩
E
)
+
P
(
B
∩
E
)
D'après les questions précédentes, nous savons que :
P
(
A
∩
E
‾
)
=
0
,
3825
P\left(A\cap \overline{E}\right)=0,3825
P
(
A
∩
E
)
=
0
,
3825
et
P
(
B
∩
E
‾
)
=
0
,
135
P\left(B\cap \overline{E}\right)=0,135
P
(
B
∩
E
)
=
0
,
135
Soit :
P
(
E
‾
)
=
0
,
3825
+
0
,
135
P\left(\overline{E}\right)=0,3825+0,135
P
(
E
)
=
0
,
3825
+
0
,
135
Ainsi :
P
(
E
‾
)
=
0
,
5175
P\left(\overline{E}\right)=0,5175
P
(
E
)
=
0
,
5175