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Fonction logarithme décimal
Résoudre une équation de la forme
a
x
=
b
a^{x}=b
a
x
=
b
- Exercice 2
9 min
25
Résoudre dans
R
\mathbb{R}
R
les équations suivantes. Il faudra la valeur exacte puis la valeur approchée à
1
0
−
2
10^{-2}
1
0
−
2
près.
Question 1
5
×
2
x
=
1000
5\times 2^{x} =1000
5
×
2
x
=
1000
Correction
5
×
2
x
=
1000
5\times 2^{x} =1000
5
×
2
x
=
1000
2
x
=
1000
5
2^{x} =\frac{1000}{5}
2
x
=
5
1000
2
x
=
200
2^{x} =200
2
x
=
200
2
x
=
200
2^{x} =200
2
x
=
200
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
2
x
)
=
log
(
200
)
\log \left(2^{x} \right)=\log \left(200\right)
lo
g
(
2
x
)
=
lo
g
(
200
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
2
)
=
log
(
200
)
x\log \left(2\right)=\log \left(200\right)
x
lo
g
(
2
)
=
lo
g
(
200
)
D'où :
x
=
log
(
200
)
log
(
2
)
x=\frac{\log \left(200\right)}{\log \left(2\right)}
x
=
lo
g
(
2
)
lo
g
(
200
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
200
)
log
(
2
)
≈
7
,
6438
\frac{\log \left(200\right)}{\log \left(2\right)} \approx 7,6438
lo
g
(
2
)
lo
g
(
200
)
≈
7
,
6438
Ainsi :
x
≈
7
,
64
x\approx 7,64
x
≈
7
,
64
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s
Question 2
3
×
6
x
−
1
=
998
3\times 6^{x} -1=998
3
×
6
x
−
1
=
998
Correction
3
×
6
x
−
1
=
998
3\times 6^{x} -1=998
3
×
6
x
−
1
=
998
3
×
6
x
=
998
+
1
3\times 6^{x}=998+1
3
×
6
x
=
998
+
1
6
x
=
999
3
6^{x} =\frac{999}{3}
6
x
=
3
999
6
x
=
333
6^{x} =333
6
x
=
333
6
x
=
333
6^{x} =333
6
x
=
333
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
6
x
)
=
log
(
333
)
\log \left(6^{x} \right)=\log \left(333\right)
lo
g
(
6
x
)
=
lo
g
(
333
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
6
)
=
log
(
333
)
x\log \left(6\right)=\log \left(333\right)
x
lo
g
(
6
)
=
lo
g
(
333
)
D'où :
x
=
log
(
333
)
log
(
6
)
x=\frac{\log \left(333\right)}{\log \left(6\right)}
x
=
lo
g
(
6
)
lo
g
(
333
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
333
)
log
(
6
)
≈
3
,
241
\frac{\log \left(333\right)}{\log \left(6\right)} \approx 3,241
lo
g
(
6
)
lo
g
(
333
)
≈
3
,
241
Ainsi :
x
≈
3
,
24
x\approx 3,24
x
≈
3
,
24
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s
Question 3
2
×
3
x
−
7
=
473
2\times 3^{x} -7=473
2
×
3
x
−
7
=
473
Correction
2
×
3
x
−
7
=
473
2\times 3^{x} -7=473
2
×
3
x
−
7
=
473
2
×
3
x
=
473
+
7
2\times 3^{x} =473+7
2
×
3
x
=
473
+
7
2
×
3
x
=
480
2\times 3^{x}=480
2
×
3
x
=
480
3
x
=
480
2
3^{x}=\frac{480}{2}
3
x
=
2
480
3
x
=
240
3^{x}=240
3
x
=
240
3
x
=
240
3^{x} =240
3
x
=
240
équivaut successivement à :
A
=
B
⇔
log
(
A
)
=
log
(
B
)
A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
A
=
B
⇔
lo
g
(
A
)
=
lo
g
(
B
)
log
(
3
x
)
=
log
(
240
)
\log \left(3^{x} \right)=\log \left(240\right)
lo
g
(
3
x
)
=
lo
g
(
240
)
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
x
log
(
3
)
=
log
(
240
)
x\log \left(3\right)=\log \left(240\right)
x
lo
g
(
3
)
=
lo
g
(
240
)
D'où :
x
=
log
(
240
)
log
(
3
)
x=\frac{\log \left(240\right)}{\log \left(3\right)}
x
=
lo
g
(
3
)
lo
g
(
240
)
valeur exacte
\red{\text{valeur exacte }}
valeur exacte
Or :
log
(
240
)
log
(
3
)
≈
4
,
988
\frac{\log \left(240\right)}{\log \left(3\right)} \approx 4,988
lo
g
(
3
)
lo
g
(
240
)
≈
4
,
988
Ainsi :
x
≈
4
,
99
x\approx 4,99
x
≈
4
,
99
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
\red{\text{valeur approchée à }}
valeur approch
e
ˊ
e
a
ˋ
1
0
−
2
\red{10^{-2}}
1
0
−
2
pr
e
ˋ
s
\red{\text{près }}
pr
e
ˋ
s