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Fonction logarithme décimal
Propriétés algébriques du logarithme décimal - Exercice 2
8 min
20
Question 1
Ecrire les nombres suivants sous la forme
a
log
(
2
)
a\log \left(2\right)
a
lo
g
(
2
)
où
a
a
a
est un réel .
A
=
log
(
8
)
A=\log \left(8\right)
A
=
lo
g
(
8
)
Correction
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
A
=
log
(
8
)
A=\log \left(8\right)
A
=
lo
g
(
8
)
A
=
log
(
2
3
)
A=\log \left(2^{3} \right)
A
=
lo
g
(
2
3
)
Ainsi :
A
=
3
log
(
2
)
A=3\log \left(2\right)
A
=
3
lo
g
(
2
)
Question 2
B
=
log
(
16
)
+
log
(
4
)
B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)
B
=
lo
g
(
16
)
+
lo
g
(
4
)
Correction
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
B
=
log
(
16
)
+
log
(
4
)
B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)
B
=
lo
g
(
16
)
+
lo
g
(
4
)
B
=
log
(
2
4
)
+
log
(
2
2
)
B=\log \left(2^{4} \right)+\log \left(2^{2} \right)
B
=
lo
g
(
2
4
)
+
lo
g
(
2
2
)
B
=
4
log
(
2
)
+
2
log
(
2
)
B=4\log \left(2\right)+2\log \left(2\right)
B
=
4
lo
g
(
2
)
+
2
lo
g
(
2
)
Ainsi :
B
=
6
log
(
2
)
B=6\log \left(2\right)
B
=
6
lo
g
(
2
)
Question 3
C
=
log
(
0
,
125
)
+
log
(
64
)
C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)
C
=
lo
g
(
0
,
125
)
+
lo
g
(
64
)
Correction
Soient
x
x
x
un réel strictement positif et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
log
(
1
x
)
=
−
log
(
x
)
\log \left(\frac{1}{x} \right)=-\log \left(x\right)
lo
g
(
x
1
)
=
−
lo
g
(
x
)
C
=
log
(
0
,
125
)
+
log
(
64
)
C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)
C
=
lo
g
(
0
,
125
)
+
lo
g
(
64
)
C
=
log
(
1
8
)
+
log
(
2
6
)
C=\log \left(\frac{1}{8} \right)+\log \left(2^{6} \right)
C
=
lo
g
(
8
1
)
+
lo
g
(
2
6
)
C
=
−
log
(
8
)
+
log
(
2
6
)
C=-\log \left(8\right)+\log \left(2^{6} \right)
C
=
−
lo
g
(
8
)
+
lo
g
(
2
6
)
C
=
−
log
(
2
3
)
+
log
(
2
6
)
C=-\log \left(2^{3} \right)+\log \left(2^{6} \right)
C
=
−
lo
g
(
2
3
)
+
lo
g
(
2
6
)
C
=
−
3
log
(
2
)
+
6
log
(
2
)
C=-3\log \left(2\right)+6\log \left(2\right)
C
=
−
3
lo
g
(
2
)
+
6
lo
g
(
2
)
Ainsi :
C
=
3
log
(
2
)
C=3\log \left(2\right)
C
=
3
lo
g
(
2
)
Question 4
D
=
log
(
48
)
−
log
(
12
)
D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)
D
=
lo
g
(
48
)
−
lo
g
(
12
)
Correction
Soient
x
x
x
et
y
y
y
deux réels strictement positifs et
n
n
n
un entier relatif . On a alors :
log
(
x
n
)
=
n
log
(
x
)
\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
lo
g
(
x
n
)
=
n
lo
g
(
x
)
log
(
x
y
)
=
log
(
x
)
+
log
(
y
)
\log \left(xy\right)=\log \left(x\right)+\log \left(y\right)
lo
g
(
x
y
)
=
lo
g
(
x
)
+
lo
g
(
y
)
D
=
log
(
48
)
−
log
(
12
)
D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)
D
=
lo
g
(
48
)
−
lo
g
(
12
)
D
=
log
(
16
×
3
)
−
log
(
4
×
3
)
D=\log \left(16\times 3\right)-\log \left(4\times 3\right)
D
=
lo
g
(
16
×
3
)
−
lo
g
(
4
×
3
)
D
=
log
(
16
)
+
log
(
3
)
−
(
log
(
4
)
+
log
(
3
)
)
D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\left(\log \left(4\right)+\log \left(3\right)\right)
D
=
lo
g
(
16
)
+
lo
g
(
3
)
−
(
lo
g
(
4
)
+
lo
g
(
3
)
)
D
=
log
(
16
)
+
log
(
3
)
−
log
(
4
)
−
log
(
3
)
D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\log \left(4\right)-\log \left(3\right)
D
=
lo
g
(
16
)
+
lo
g
(
3
)
−
lo
g
(
4
)
−
lo
g
(
3
)
D
=
log
(
16
)
−
log
(
4
)
D=\log \left(16\right)-\log \left(4\right)
D
=
lo
g
(
16
)
−
lo
g
(
4
)
D
=
log
(
2
4
)
−
log
(
2
2
)
D=\log \left(2^{4} \right)-\log \left(2^{2} \right)
D
=
lo
g
(
2
4
)
−
lo
g
(
2
2
)
D
=
4
log
(
2
)
−
2
log
(
2
)
D=4\log \left(2\right)-2\log \left(2\right)
D
=
4
lo
g
(
2
)
−
2
lo
g
(
2
)
Ainsi :
D
=
2
log
(
2
)
D=2\log \left(2\right)
D
=
2
lo
g
(
2
)