Calculs d'intégrales - Primitives et calculs d'intégrales - TS

Question 1

$I=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=2x+1

Alors :

F\left(x\right)=x^{2} +x

Donc :

I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[x^{2} +x\right]_{0}^{1}

équivaut successivement à

I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)

I=2

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx=2

Question 2

$I=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right)dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=x^{2} -x

Alors :

F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2}

Donc :

I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}

I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(1\right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)^{2} \right)

I=\frac{2}{3}

Finalement :

\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dx=\frac{2}{3}

Question 3

$I=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=x^{2} +3x+1

Alors :

F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x

Donc :

I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x\right]_{-2}^{1}

équivaut successivement à

I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(1\right)^{2} +1\right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-2\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(-2\right)^{2} -2\right)

I=\frac{3}{2}

Finalement :

\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dx=\frac{3}{2}

Question 4

$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt

équivaut à :

I=\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3} \right) dt

Soit :

f\left(t\right)=\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3}

Alors :

F\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t

Donc :

I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t\right]_{0}^{1}

équivaut successivement à :

I=\frac{1}{12} \times 1^{4} +\frac{2}{9} \times 1^{3} +\frac{1}{6} \times 1^{2} -\frac{1}{3} \times 1-\left(\frac{1}{12} \times 0^{4} +\frac{2}{9} \times 0^{3} +\frac{1}{6} \times 0^{2} -\frac{1}{3} \times 0\right)

I=\frac{1}{12} +\frac{2}{9} +\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -0

I=\frac{5}{36}

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt=\frac{5}{36}

Question 5

$I=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dt$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(t\right)=3t+4

Alors :

F\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} +4t

Donc :

I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[\frac{3}{2} t^{2} +4t\right]_{-1}^{1}

équivaut successivement à

I=\left(\frac{3}{2} +4\right)-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)\right)

I=8

Finalement :

\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dt=8

Question 6

$I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)

Alors :

F\left(x\right)=2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)

Donc :

I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }

Il vient alors que :

I=\left[2\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi }{2} }

équivaut successivement à

I=\left(2\sin \left(\frac{\pi }{2} \right)+5\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\right)-\left(2\sin \left(0\right)+5\cos \left(0\right)\right)

I=-3

Finalement :

\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dx=-3

Question 7

$I=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)

, on développe

f

, on obtient

f\left(x\right)=2x^{2} -2

Alors :

F\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} -2x

Donc :

I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2}

Il vient alors que :

I=\left[\frac{2}{3} x^{3} -2x\right]_{0}^{2}

équivaut successivement à

I=\left(\frac{2}{3} \times \left(2\right)^{3} -2\times 2\right)-\left(0\right)

I=\frac{4}{3}

Finalement

\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dx=\frac{4}{3}

Question 8

$I=\int _{0}^{1} dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

I=\int _{0}^{1} dx

s'écrit également

I=\int _{0}^{1}1 \; dx

Soit :

f\left(x\right)=1

Alors :

F\left(x\right)=x

Donc :

I=\left[x\right]_{0}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[x\right]_{0}^{1}

équivaut successivement à

I=\left(1\right)-\left(0\right)

I=1

Finalement :

\int _{0}^{1} dx=1

Question 9

$I=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} }\right)

Alors :

F\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}

Donc :

I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2}

Il vient alors que :

I=\left[-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x} \right]_{1}^{2}

équivaut succesivement à

I=\left(-\ln \left(2\right)-\frac{2}{2} \right)-\left(-\ln \left(1\right)-\frac{2}{1} \right)

I=-\ln \left(2\right)-1+2

I=-\ln \left(2\right)+1

Finalement :

\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx=-\ln \left(2\right)+1

Question 10

$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+5}{t}

, on simplifie l'écriture de

f

qui devient

f\left(t\right)=2t-1+\frac{5}{t}

Alors :

F\left(t\right)=t^{2} -t+5\ln \left(t\right)

Donc :

I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2}

Il vient alors que :

I=\left[t^{2} -t+5\ln \left(t\right)\right]_{1}^{2}

équivaut successivement à

I=\left(2^{2} -2+5\ln \left(2\right)\right)-\left(1-1+5\ln \left(1\right)\right)

I=5\ln \left(2\right)+2

Finalement :

\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right)dt=5\ln \left(2\right)+2

Question 11

$I=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

Soit :

f\left(t\right)=2e^{t} +t

Alors :

F\left(t\right)=2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2}

Donc :

I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}

Il vient alors que :

I=\left[2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2} \right]_{0}^{1}

équivaut successivement à

I=\left(2e^{1} +\frac{1}{2} \right)-\left(2e^{0} +\frac{1}{2} \times 0\right)

I=2e^{1} -\frac{3}{2}

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt=2e^{1} -\frac{3}{2}

Question 12

On admet que la fonction

F

déﬁnie par

F\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7

est une primitive de la fonction

f

sur l’intervalle

\left]0;10\right]

.

Calculer la valeur exacte de $I=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx$

Correction

Comment calculer l'intégrale $I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx$
1^ère étape : on calcule une primitive de $f$ notée $F$ . On écrira ensuite $I=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}$
2^ème étape : $I=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ et on effectue le calcul numérique.

I=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx

équivaut successivement à :

I=\left[-\frac{x^{2}}{2}\ln x+\frac{5}{4}x^{2}+x-7 \right]_{1}^{2}

I=\left(-\frac{2^{2} }{2} \ln \left(2\right)+\frac{5}{4} \times 2^{2} +2-7\right)-\left(-\frac{1^{2} }{2} \ln \left(1\right)+\frac{5}{4} \times 1^{2} +1-7\right)

I=\left(-2\ln \left(2\right)+5+2-7\right)-\left(\frac{5}{4} +1-7\right)

I=\left(-2\ln \left(2\right)\right)-\left(-\frac{19}{4} \right)

Finalement :

\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx=-2\ln \left(2\right)+\frac{19}{4}

Calculs d'intégrales - Exercice 1

I=∫01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dxI=∫01​(2x+1)dx

I=∫−11(x2−x)dxI=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right)dxI=∫−11​(x2−x)dx

I=∫−21(x2+3x+1)dxI=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dxI=∫−21​(x2+3x+1)dx

I=∫01(t3+2t2+t−13)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dtI=∫01​(3t3+2t2+t−1​)dt

I=∫−11(3t+4)dtI=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dtI=∫−11​(3t+4)dt

I=∫0π2(2cos⁡(x)−5sin⁡(x))dxI=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dxI=∫02π​​(2cos(x)−5sin(x))dx

I=∫02(2x+2)(x−1)dxI=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dxI=∫02​(2x+2)(x−1)dx

I=∫01dxI=\int _{0}^{1} dxI=∫01​dx

I=∫12(−1x+2x2)dxI=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dxI=∫12​(−x1​+x22​)dx

I=∫12(2t2−t+5t)dtI=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dtI=∫12​(t2t2−t+5​)dt

I=∫01(2et+t)dtI=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dtI=∫01​(2et+t)dt

Calculer la valeur exacte de I=∫12f(x)dxI=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dxI=∫12​f(x)dx

$I=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right)dx$

$I=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right)dx$

$I=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right)dx$

$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right)dt$

$I=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right)dt$

$I=\int _{0}^{\frac{\pi }{2} }\left(2\cos \left(x\right)-5\sin \left(x\right)\right)dx$

$I=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right)dx$

$I=\int _{0}^{1} dx$

$I=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx$

$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt$

$I=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt$

Calculer la valeur exacte de $I=\int _{1}^{2}f\left(x\right) dx$