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Montrer qu'une suite est géométrique : niveau facile - Exercice 1

12 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=8u_{0} =8 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,85un+1,8u_{n+1} =0,85u_{n} +1,8
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=un−12v_{n} =u_{n} -12
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,850,85.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un−12v_{n} =u_{n} -12
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−12v_{n+1} =u_{n+1} -12 . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,85un+1,8u_{n+1} =0,85u_{n} +1,8.
vn+1=0,85un+1,8−12v_{n+1} =0,85u_{n} +1,8-12
vn+1=0,85un−10,2v_{n+1} =0,85{\color{blue}{u_{n}}} -10,2.
Or vn=un−12v_{n} =u_{n} -12 donc vn+12=un{\color{blue}{v_{n} +12=u_{n}}} . Ainsi :
vn+1=0,85×(vn+12)−10,2v_{n+1} =0,85\times{\color{blue}{\left(v_{n} +12\right)}}-10,2
vn+1=0,85vn+0,85×12−10,2v_{n+1} =0,85v_{n} +0,85\times 12-10,2
vn+1=0,85vn+10,2−10,2v_{n+1} =0,85v_{n} +10,2-10,2
vn+1=0,85vnv_{n+1} =0,85v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,85q=0,85 et de premier terme v0=u0−12=8−12v_{0} =u_{0} -12=8-12 donc v0=−4v_{0} =-4
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=(−4)×0,85nv_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(−4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12.

Correction
On sait que vn=un−12v_{n} =u_{n} -12 donc vn+12=unv_{n} +12=u_{n}
Il vient alors que :
un=(−4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,85<1-1< 0,85< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−4)×(0,85)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12

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